Akar Bersarang: Membongkar Pola Aljabar
Kesalahan Fatal Menguadratkan Akar
Sebelum kita membongkar bentuk $\sqrt{10 + 2\sqrt{21}}$, kita perlu luruskan satu hal. Saat melihat penjumlahan akar yang dikuadratkan seperti $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$, banyak orang langsung menebak hasilnya adalah $a + b$.
Apakah tebakan itu benar? Coba kita lihat buktinya lewat luas persegi berikut:
Kalau kamu menjabarkan perkalian pelangi $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$, prosesnya mirip seperti menghitung luas keempat kotak di atas.
$\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$ (kotak kiri atas)
$\sqrt{b} \times \sqrt{b} = b$ (kotak kanan bawah)
Tapi, jangan lupakan dua kotak sisanya! Yaitu $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ dan $\sqrt{b} \times \sqrt{a}$, yang kalau digabung menjadi $2\sqrt{ab}$.
Jadi, bentuk $a + b + 2\sqrt{ab}$ ini selalu muncul bersamaan tiap kali kita menguadratkan dua buah akar yang dijumlahkan.
Berdasarkan konsep perkalian pelangi yang baru saja dibahas, tentukan apakah pernyataan berikut Benar atau Salah!
- (√5 + √3)² sama nilainya dengan 5 + 3. — Salah
- (√3 + √2)² menghasilkan 5 + 2√6. — Benar
- Perkalian (√x + √y)(√x + √y) tidak memiliki suku tengah. — Salah
(√3 + √2)² dijabarkan menjadi (√3)² + (√2)² + 2(√3)(√2) = 3 + 2 + 2√6 = 5 + 2√6. Suku tengah tidak boleh hilang!
Menguadratkan penjumlahan bentuk akar harus menggunakan prinsip aljabar yang menghasilkan suku tengah, bukan sekadar menjumlahkan angka di dalam akar.
Memutar Balik Waktu
Di halaman sebelumnya, kita sudah membuktikan sebuah fakta aljabar penting: $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (a + b) + 2\sqrt{ab}$
Nah, apa hubungannya dengan bentuk akar bersarang seperti di soal awal? Jawabannya ada pada sifat kebalikan (invers).
Ingat konsep dasar ini: jika $X^2 = Y$, maka $\sqrt{Y} = X$ (untuk bilangan positif). Mari kita anggap:
$X$ adalah $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$
$Y$ adalah $((a + b) + 2\sqrt{ab})$
Karena $X$ dikuadratkan hasilnya $Y$, maka kalau kita menarik akar dari $Y$, kita akan kembali mendapatkan $X$.
Ternyata, rumus ini bukan turun dari langit! Ini hanyalah bentuk $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ yang di-akar-kan kembali ke wujud asalnya.
Jika kita memiliki bentuk akar bersarang $\sqrt{(x+y) + 2\sqrt{xy}}$, jika disederhanakan akan kembali menjadi bentuk apa?
- A. $\sqrt{x^2 + y^2}$
- B. $\sqrt{x} + \sqrt{y}$
- C. $\sqrt{x+y}$
- D. $x + y$
Jawaban: B. $\sqrt{x} + \sqrt{y}$
Karena $(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = (x+y) + 2\sqrt{xy}$, maka jika bentuk $(x+y) + 2\sqrt{xy}$ ditarik akar, hasilnya akan kembali menjadi $\sqrt{x} + \sqrt{y}$.
Akar bersarang adalah kebalikan dari proses menguadratkan bentuk penjumlahan akar.
Membedah Anatomi Soal
Sekarang, mari kita bawa rumus yang sudah kita pahami tadi ke soal aslinya. Kita punya rumus umum dan kita punya soal:
Rumus: $\sqrt{(a+b) + 2\sqrt{ab}}$ Soal: $\sqrt{10 + 2\sqrt{21}}$
Coba bandingkan posisinya baik-baik.
Dari pemetaan di atas, kita bisa melihat bahwa bentuk di soal sudah sangat identik dengan cetakan rumus kita.
Angka $10$ yang berdiri sendiri di luar akar adalah hasil dari $a + b$ (penjumlahan).
Angka $21$ di dalam akar kecil adalah hasil dari $a \times b$ (perkalian).
Karena syaratnya sudah terpenuhi, sekarang teka-tekinya hanya berpusat pada mencari siapa sebenarnya si $a$ dan $b$ ini.