Menaklukkan Sisa Pangkat Raksasa

Roda Angka dan Sisa

Mencari sisa pembagian tidak butuh nilai asli angkanya, karena kemungkinan sisanya sangat terbatas.

Saat kita membagi bilangan bulat apa pun dengan $5$, hasil bagi bisa bernilai berapa pun, tetapi sisa pembagian yang mungkin tertinggal hanyalah ada lima kemungkinan: $0, 1, 2, 3$, atau $4$. Tidak akan pernah ada bilangan bulat yang jika dibagi $5$ menyisakan $5$ atau lebih.

Bayangkan kelima angka sisa ini sebagai titik-titik tetap di pinggir sebuah roda putar bernomor. Saat kita menghitung barisan perpangkatan $3 \times 3 \times 3 \times \dots$, nilai bilangannya memang melesat membesar tanpa batas. Namun, 'jejak' sisa pembagiannya tidak pernah kabur ke mana-mana; ia selalu berputar-putar melompat di antara kelima titik pada roda tersebut.

Artinya, untuk menjawab $3^{2026}$ dibagi $5$, kita sama sekali tidak perlu menghitung angka raksasa $3^{2026}$. Kita cukup melacak di titik mana panah roda itu berhenti pada langkah ke-$2026$.

Menemukan Siklus

Sisa pembagian bilangan berpangkat yang dikalikan terus-menerus akan selalu membentuk siklus berulang yang teratur.

Mari kita amati apa yang terjadi pada beberapa pangkat awal dari bilangan dasar $3$ ketika dibagi oleh $5$:

Bagan alur melingkar empat langkah siklus sisa pembagian 3 pangkat n oleh 5.

Jika kita melanjutkan ke $3^5 = 243$, saat dibagi $5$ hasilnya adalah $48$ dengan sisa $3$. Perhatikan bahwa kita langsung kembali ke angka pertama. Pola ini membentuk siklus empat langkah: $3 \to 4 \to 2 \to 1 \to 3 \dots$.

Karena perkalian bilangan $3$ tidak pernah menghasilkan kelipatan $5$, sisa $0$ tidak akan pernah tercapai pada pangkat berapa pun. Inilah mengapa Opsi E ($0$) salah, meskipun pangkatnya besar atau berakhiran angka tertentu.

Jika kamu menghitung sisa dari $2^1, 2^2, 2^3, 2^4$ ketika dibagi oleh 3, pola sisa apa yang akan kamu dapatkan secara berurutan?

  • 2, 1, 2, 1
  • 2, 0, 2, 0
  • 1, 2, 1, 2
  • 2, 2, 2, 2

Jawaban: 2, 1, 2, 1

Perhitungan sisa pembagian oleh 3: 2^1 = 2 (sisa 2), 2^2 = 4 (sisa 1), 2^3 = 8 (sisa 2), dan 2^4 = 16 (sisa 1). Polanya berulang teratur 2, 1, 2, 1. Pengecoh B salah karena perkalian 2 tidak pernah menghasilkan kelipatan 3 (tidak mungkin bersisa 0). Pengecoh C tertukar urutannya, dan D salah karena mengira sisanya selalu tetap.

Sisa pembagian berulang membentuk siklus dengan pola tetap.

Melompat Jauh ke Pangkat 2026

Panjang siklus adalah kunci memotong jalan; sisa pangkat dibagi panjang siklus menunjukkan posisi akhir kita di dalam pola.

Pola sisa pembagian kita berulang setiap $4$ langkah: $(3, 4, 2, 1)$. Artinya, setiap kali pangkatnya merupakan kelipatan $4$ (seperti $3^4, 3^8, 3^{12}$), perputaran roda akan tepat menyelesaikan putaran penuh dan mendarat di langkah ke-4, yaitu sisa $1$.

Ilustrasi seseorang mendarat di ubin warna kedua pada lintasan ubin berpola empat warna yang berulang.

Sekarang, mari kita cari tahu di mana posisi pangkat $2026$. Kita bagi nilai pangkat tersebut dengan panjang siklusnya, yaitu $4$:

$$2026 = 4 \times 506 + 2$$

Hasil ini menunjukkan bahwa roda telah berputar penuh sebanyak $506$ kali, lalu masih melangkah maju sejauh $2$ langkah ekstra.

Waspadai juga godaan Opsi A ($1$). Pengecoh ini sering muncul jika seseorang keliru membagi pangkat $2026$ langsung dengan pembagi $5$ ($2026$ dibagi $5$ bersisa $1$), padahal yang dibagi oleh $5$ adalah keseluruhan bilangan $3^{2026}$, bukan angka pangkatnya saja. Sisa $1$ baru akan menjadi jawaban jika pangkatnya habis dibagi $4$ tanpa sisa (langkah ke-4).

Pola sisa pembagian $7^n$ oleh 10 berulang setiap 4 langkah, yaitu: $7, 9, 3, 1$. Berapakah sisa dari $7^{42}$ jika dibagi oleh 10?

  • 2
  • 9
  • 7
  • 1

Jawaban: 9

Bagi pangkat 42 dengan panjang siklus 4: diperoleh 42 = 4 × 10 + 2, yang berarti bersisa 2. Sisa 2 ini menunjukkan urutan langkah dalam pola, yaitu langkah ke-2. Pada pola (7, 9, 3, 1), angka di posisi ke-2 adalah 9. Pengecoh A (2) keliru karena menganggap sisa pembagian pangkat sebagai jawaban akhir. Pengecoh C (7) hanya mengambil langkah pertama, dan D (1) keliru menganggap pangkat genap selalu berakhir di langkah ke-4.

Sisa pembagian pangkat dengan panjang siklus menentukan posisi dalam pola.