Menaklukkan Akar dengan Struktur Aljabar

Jangan Terburu-buru Menyederhanakan

Langkah pertama menghadapi perkalian panjang yang berulang adalah mencari pola strukturnya, bukan menghitung nilai individualnya.

Ketika melihat bentuk $(\sqrt9+\sqrt8+\sqrt7)(-\sqrt7+\sqrt8+\sqrt9)(\sqrt9-\sqrt8+\sqrt7)(\sqrt7+\sqrt8-\sqrt9)$, dorongan awal kita biasanya ingin langsung mengubah $\sqrt9$ menjadi $3$ atau $\sqrt8$ menjadi $2\sqrt2$. Namun, menyederhanakan akar tunggal di awal justru sering menjadi jebakan yang mengaburkan kesamaan angka di antara keempat kurung tersebut.

Ibarat bermain catur, seorang pemain tidak langsung menggerakkan bidak sembarangan pada langkah pertama, melainkan membaca formasi papan catur secara menyeluruh dan merencanakan beberapa langkah ke depan. Di soal ini, angka di dalam keempat kurung identik, yaitu $9$, $8$, dan $7$, hanya tanda tambah dan kurangnya yang saling bertukar. Ini adalah sinyal kuat dari pembuat soal untuk memanfaatkan identitas aljabar, bukan hitungan kasar (brute force) yang menguras waktu dan energi—yang sering kali membuat siswa frustrasi hingga akhirnya menebak asal seperti pada Opsi A ($67$).

Eksplorasi interaktif di atas menunjukkan bahwa jika kita menukar posisi kurung, kita bisa memasangkan kurung yang memiliki kesamaan tanda. Kurung 1 dan Kurung 4 sama-sama memiliki suku $(\sqrt7+\sqrt8)$, sedangkan tanda pada $\sqrt9$ berlawanan. Begitu pula Kurung 2 dan Kurung 3 yang memuat kesamaan pola tanda jika kita tata ulang.

Aturan Perkalian Akar

Akar yang berbeda dapat dikalikan dengan menggabungkan angka di dalamnya ke bawah satu atap akar.

Sebelum melebur kurung-kurung tersebut, kita perlu mengingat kembali sifat dasar perkalian bentuk akar pada bilangan real positif. Berdasarkan sifat eksponen dan radikal, berlaku:

$$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$$

Ketika kita menjabarkan bentuk kuadrat sempurna seperti $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, akan muncul suku tengah berupa perkalian dua bentuk akar dengan koefisien $2$. Misalnya, saat menghitung suku tengah dari perkalian $\sqrt7$ dan $\sqrt8$:

$$2 \cdot \sqrt7 \cdot \sqrt8 = 2\sqrt{7 \cdot 8} = 2\sqrt{56}$$

Kita cukup mengalikan bilangan yang berada di dalam akar ($7 \times 8 = 56$), sementara koefisien $2$ tetap berada di luar akar. Tidak perlu menyederhanakan $2\sqrt{56}$ lebih jauh menjadi $4\sqrt{14}$, karena mempertahankan bentuk $\sqrt{56}$ akan menjaga konsistensi pola dan mempermudah perhitungan aljabar pada langkah berikutnya.

Membedah Kelompok Pertama

Dua kurung dapat dilebur menjadi lebih sederhana dengan mencari elemen yang bertanda sama dan elemen yang berlawanan tanda.

Mari kita ambil pasangan pertama yang kita sebut sebagai kelompok $A$, yaitu perkalian antara Kurung 1 dan Kurung 4:

$$A = (\sqrt9+\sqrt8+\sqrt7)(\sqrt7+\sqrt8-\sqrt9)$$

Perhatikan susunan tandanya. Suku $(\sqrt7+\sqrt8)$ bernilai positif di kedua kurung, sedangkan suku $\sqrt9$ bertanda positif di kurung pertama dan bertanda negatif di kurung kedua. Jika kita misalkan $x = (\sqrt7+\sqrt8)$ dan $y = \sqrt9$, bentuk ini persis mengikuti identitas selisih dua kuadrat:

$$(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$$

Sekarang kita substitusikan kembali $x$ dan $y$ ke rumus tersebut:

$$A = ((\sqrt7+\sqrt8)+\sqrt9)((\sqrt7+\sqrt8)-\sqrt9) = (\sqrt7+\sqrt8)^2 - (\sqrt9)^2$$

Langkah berikutnya, jabarkan $(\sqrt7+\sqrt8)^2$ menggunakan rumus kuadrat sempurna, lalu kurangkan dengan $(\sqrt9)^2 = 9$:

$$(\sqrt7+\sqrt8)^2 = (\sqrt7)^2 + 2\cdot\sqrt7\cdot\sqrt8 + (\sqrt8)^2 = 7 + 2\sqrt{56} + 8 = 15 + 2\sqrt{56}$$

$$A = (15 + 2\sqrt{56}) - 9 = 6 + 2\sqrt{56}$$

Dua kurung yang semula tampak rumit kini menyusut menjadi satu bentuk binomial sederhana!