Bunga Majemuk vs Bunga Tunggal secara Aljabar

Menurunkan Model Bunga

Bunga tunggal setara dengan barisan aritmetika, sedangkan bunga majemuk setara dengan barisan geometri.

Ketika modal awal sebesar $M$ diinvestasikan, pertumbuhan dana pada setiap akhir tahun ditentukan oleh bagaimana imbal hasil tersebut dihitung. Pada Bunga Tunggal, bunga tahunan selalu dihitung dari modal awal yang tetap ($M$). Artinya, di setiap pergantian tahun investor hanya menerima tambahan nominal konstan sebesar $r \cdot M$. Jika dituliskan dalam barisan aljabar:

• Tahun $0$: $M$

• Tahun $1$: $M + rM = M(1 + r)$

• Tahun $2$: $M + rM + rM = M(1 + 2r)$

• Tahun $n$: $M_A(n) = M(1 + r \cdot n)$

Pola ini identik dengan barisan aritmetika dengan beda tetap $d = rM$. Karena suku pengalinya adalah $n$ berpangkat satu, persamaannya merupakan Fungsi Linear. Untuk perusahaan $A$ dengan suku bunga $12$ per tahun ($r = 0{,}12$), model investasinya adalah:

Sebaliknya, pada Bunga Majemuk, imbal hasil dihitung bukan dari modal awal saja, melainkan dari total akumulasi modal beserta bunga periode sebelumnya ("bunga berbunga"). Setiap akhir tahun, seluruh saldo dikalikan dengan faktor pengali $(1 + r)$:

• Tahun $0$: $M$

• Tahun $1$: $M(1 + r)$

• Tahun $2$: $[M(1 + r)] \cdot (1 + r) = M(1 + r)^2$

• Tahun $n$: $M_B(n) = M(1 + r)^n$

Pola perkalian berulang ini adalah barisan geometri dengan rasio tetap $(1 + r)$. Karena variabel waktu $n$ berada pada posisi eksponen, model ini membentuk Fungsi Eksponensial. Untuk perusahaan $B$ dengan bunga $10$ ($r = 0{,}10$), model investasinya adalah:

Sebagai ilustrasi dasar dengan modal $M = 100$:

• Pada $n = 1$: Perusahaan $A$ menghasilkan $100(1 + 0{,}12) = 112$, sedangkan Perusahaan $B$ menghasilkan $100(1{,}1)^1 = 110$.

• Pada $n = 2$: Perusahaan $A$ menjadi $100(1 + 0{,}24) = 124$, sedangkan Perusahaan $B$ menjadi $100(1{,}1)^2 = 121$.

Menghitung Tahun Awal

Kelebihan suku bunga nominal yang lebih besar langsung terlihat pada tahun pertama, tetapi harus dieksekusi dengan hati-hati saat memasuki tahun kedua.

Untuk menguji performa awal, kita evaluasi nilai investasi pada akhir tahun pertama ($n = 1$) dengan memasukkan nilai ke kedua model matematika:

Karena $1{,}12M > 1{,}10M$, total modal di perusahaan $A$ terbukti lebih tinggi daripada perusahaan $B$ pada akhir tahun ke-$1$. Ini membuktikan bahwa Opsi A benar.

Saat memasuki tahun ke-$2$ ($n = 2$), kita berhadapan dengan perhitungan kuadrat desimal untuk perusahaan $B$: $(1{,}1)^2$. Kita tidak perlu kalkulator untuk mengeksekusi perhitungan ini. Bentuk aljabar $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ atau konversi ke pecahan biasa membuat langkahnya jauh lebih sederhana:

• Menggunakan distribusi aljabar: $(1 + 0{,}1)^2 = 1^2 + 2(1)(0{,}1) + (0{,}1)^2 = 1 + 0{,}2 + 0{,}01 = 1{,}21$.

• Atau menggunakan pecahan: $\left(\frac{11}{10}\right)^2 = \frac{121}{100} = 1{,}21$.

Maka, akumulasi nilai pada akhir tahun ke-$2$ adalah:

Berapa selisih keuntungan antara kedua perusahaan di akhir tahun kedua?

Sifat Linear vs Eksponensial

Secara sifat fungsi matematis, model eksponensial dengan basis lebih dari satu akan selalu tumbuh lebih pesat dalam jangka panjang dan melampaui pertumbuhan linear apa pun.

Perbedaan mendasar antara kedua skema investasi ini terletak pada bentuk kurvanya:

1. Perusahaan $A$ (Fungsi Linear): Persamaan $M_A(n) = M + 0{,}12Mn$ memiliki turunan konstan. Grafiknya membentuk garis lurus menanjak dengan gradien tetap $0{,}12M$.

2. Perusahaan $B$ (Fungsi Eksponensial): Persamaan $M_B(n) = M(1{,}1)^n$ memiliki laju perubahan yang membesar seiring nilai $M_B$ membesar. Grafiknya bukan garis lurus, melainkan kurva melengkung ke atas (curved concave upward). Karakteristik kurva melengkung ini membuktikan bahwa Opsi C salah (karena Opsi C menyebut grafik B sebagai garis lurus bergradien konstan).

Meskipun laju nominal tahunan perusahaan $A$ ($12$) di awal lebih tinggi daripada perusahaan $B$ ($10$), keunggulan sistem linear hanya bersifat sementara:

• Pada jangka pendek ($n = 1$ hingga $n = 5$), penambahan tetap $12$ membuat garis linear $M_A$ berada di atas kurva eksponensial $M_B$.

• Namun, pertumbuhan eksponensial terus melipatgandakan seluruh akumulasi sebelumnya. Seiring bertambahnya $n$, kemiringan kurva eksponensial terus bertambah curam.

Pada akhirnya, kurva eksponensial $M_B$ pasti memotong dan melampaui garis lurus $M_A$. Sebagai contoh, pada tahun ke-$15$ ($n = 15$):

• $M_A(15) = M(1 + 0{,}12 \times 15) = 2{,}80M$

• $M_B(15) = M(1{,}1)^{15} \approx 4{,}177M$

Nilai investasi di perusahaan $B$ telah berbalik menjadi jauh lebih besar daripada perusahaan $A$. Hal ini membuktikan bahwa Opsi B salah (akumulasi $A$ tidak selalu lebih tinggi) dan Opsi D benar (perusahaan $B$ akan menyusul dan melampaui hasil perusahaan $A$ dalam jangka panjang).