Geometri Pantulan: Dari Jatuh Hingga Berhenti

Visualisasi: Turun, Naik, Turun...

Bayangkan kamu lagi main bola tenis. Kamu lepasin bolanya dari ketinggian 10 meter. Apa yang terjadi? Bolanya jatuh ke lantai, lalu mantul ke atas, jatuh lagi, mantul lagi, dan seterusnya sampai akhirnya berhenti.

Nah, ketika ditanya "berapa panjang seluruh lintasan bola?", otak kita kadang cuma ngebayangin jarak bola jatuh dari atas ke bawah. Padahal, lintasan bola itu terdiri dari dua gerakan: jatuh (turun) dan mantul (naik).

Mari kita bedah gerakannya satu per satu:

Jatuh pertama: Bola murni turun sejauh $10\text{ m}$. Belum ada gerakan naik di sini.
Pantulan pertama: Bola naik sejauh $\frac{3}{4}$ dari $10\text{ m}$ (yaitu $7,5\text{ m}$). Terus, dia melayang di udara? Enggak dong, dia pasti turun lagi sejauh $7,5\text{ m}$.
Pantulan kedua: Bola naik lagi sejauh $\frac{3}{4}$ dari $7,5\text{ m}$, lalu turun lagi sejauh jarak yang sama.

Artinya, kecuali jatuh yang pertama kali banget, setiap pantulan selalu punya "pasangan" jarak naik dan turun yang sama persis! Coba perhatikan gambar berikut biar lebih kebayang.

Jika sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 meter dan pantulan pertamanya mencapai ketinggian 5 meter, berapa meter jarak yang ditempuh bola hanya pada SATU siklus pantulan pertama tersebut (naik lalu turun)?

A. 5 meter
B. 10 meter
C. 15 meter
D. 20 meter

Jawaban: B. 10 meter

Pantulan pertama berarti bola naik 5 m dan turun 5 m. Total jarak pada siklus itu adalah 5 + 5 = 10 meter. Jarak jatuh awal (10 m) tidak dihitung sebagai pantulan pertama.

Setiap pantulan terdiri dari gerak naik dan turun dengan jarak yang sama.

Menerjemahkan ke Matematika

Sekarang, kita ubah cerita bola loncat-loncat tadi jadi bahasa matematika. Karena jarak pantulannya selalu menyusut dengan rasio tetap ($\frac{3}{4}$), kita berhadapan dengan barisan angka yang disebut deret geometri.

Karena bolanya mantul terus sampai energinya habis (yang secara teoritis bisa dianggap tak terhingga), kita pakai konsep Deret Geometri Tak Hingga. Rumus ajaibnya adalah $S_\infty = \frac{a}{1-r}$, dengan $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasionya.

Biar gampang, kita pecah total lintasannya jadi dua kelompok besar:

Kelompok Turun: $10 + 7,5 + 5,625 + \dots$ Di sini, suku pertamanya ($a$) adalah $10$, dan rasionya ($r$) adalah $\frac{3}{4}$.
Kelompok Naik: $7,5 + 5,625 + \dots$ Di sini, suku pertamanya ($a$) bukan 10, melainkan $7,5$ (karena tinggi pantulan pertama beda sama tinggi jatuh awal). Rasionya tetep $\frac{3}{4}$.

Coba mainkan slider di bawah ini buat ngelihat gimana tumpukan jarak turun dan jarak naik pelan-pelan bertambah sampai mencapai titik maksimalnya (limit).

Merakit Rumus Total

Menghitung dua deret tak hingga secara terpisah terus ditambahin di akhir emang bener, tapi agak makan waktu. Gimana kalau kita rakit jadi satu rumus pamungkas?

Yuk kita intip prosesnya (jangan panik lihat aljabarnya, ini cuma disatuin kok):

Total Turun: $\frac{h}{1-r}$
Total Naik: Karena pantulan pertama itu $h \times r$, maka rumusnya $\frac{h \cdot r}{1-r}$

Kalau kita gabungin: Total $= \frac{h}{1-r} + \frac{h \cdot r}{1-r}$

Cakepnya, karena penyebutnya udah sama (sama-sama $1-r$), kita tinggal tambahin bagian pembilangnya (yang atas) aja: $\frac{h + h \cdot r}{1-r}$

Supaya lebih rapi, huruf $h$-nya kita keluarin (faktorkan). Hasilnya jadi rumus utuh yang super praktis ini:

Rumus ini jauh lebih aman dipakai karena kamu cuma butuh dua bahan: tinggi awal ($h$) dan rasio pantulan ($r$). Sekali masukin angka, langsung dapat total semuanya tanpa takut kelupaan ngitung lintasan naiknya!