Membongkar Pola Barisan Geometri Pabrik
Mengapa a, ar, ar² Bikin Ribet?
Pemisalan standar $a, ar, ar^2$ membuat perhitungan hasil kali suku barisan geometri menjadi persamaan yang rumit. Saat kita membaca soal tentang tiga lini mesin pabrik yang kapasitasnya membentuk barisan geometri, naluri pertama kita umumnya adalah memisalkan kapasitas mesin-mesin tersebut secara berurutan mulai dari suku pertama:
$$\text{Mesin 1} = a, \quad \text{Mesin 2} = ar, \quad \text{Mesin 3} = ar^2$$
Tampak alami karena dimulai dari ujung kiri, tetapi mari kita periksa apa yang terjadi saat informasi perkalian kapasitas dimasukkan. Soal menyebutkan bahwa hasil kali output ketiga lini mesin adalah $1.000$:
$$a \cdot (ar) \cdot (ar^2) = 1.000 \implies a^3 r^3 = 1.000 \implies (ar)^3 = 10^3 \implies ar = 10$$
Persamaan $ar = 10$ masih mengikat dua variabel sekaligus, yaitu suku awal $a$ dan rasio $r$. Kita belum mengetahui nilai pasti dari satu pun variabel tersebut.
Ketika kita mencoba memasukkan hasil ini ke persamaan jumlah kapasitas ($a + ar + ar^2 = 35$), kita harus menyatakan salah satu variabel dalam pecahan, misalnya $a = \frac{10}{r}$, lalu menyubstitusikannya:
$$\frac{10}{r} + 10 + \frac{10}{r} \cdot r^2 = 35 \implies \frac{10}{r} + 10 + 10r = 35$$
Substitusi ini memang bisa diselesaikan, tetapi membutuhkan energi aljabar ekstra karena variabel $r$ dan $a$ saling bertumpuk sejak awal. Ada cara pandang yang jauh lebih elegan: alih-alih memulai patokan dari ujung kiri (suku pertama), kita bisa menggeser titik fokus kita tepat ke lini mesin bagian tengah.
Kekuatan Pemisalan Simetris
Menjadikan suku tengah sebagai acuan ($\frac{a}{r}, a, ar$) akan langsung mengeliminasi variabel rasio saat ketiga suku dikalikan. Teknik ini disebut pemisalan simetris. Alih-alih mematok ujung awal, kita mematok mesin tengah berkapasitas $a$. Karena hubungan tiap mesin berurutan adalah pengali berupa rasio ($r$), maka kapasitas mesin sebelumnya pastilah berukuran $\frac{a}{r}$ (dibagi $r$), dan kapasitas mesin setelahnya adalah $ar$ (dikali $r$).
Keuntungan terbesar dari bentuk simetris ini terlihat saat kita menghitung hasil perkalian ketiga kapasitas mesin. Perhatikan bagaimana variabel $r$ saling meniadakan secara instan:
$$\left(\frac{a}{r}\right) \cdot a \cdot (ar) = 1.000$$
$$\frac{a \cdot a \cdot a \cdot r}{r} = 1.000$$
$$a^3 = 1.000 \implies a = \sqrt[3]{1.000} \implies a = 10$$
Hanya dalam satu baris perhitungan sederhana tanpa substitusi pecahan, kita langsung mengetahui kapasitas mesin tengah secara eksak, yaitu $a = 10$.
Setelah mengantongi nilai kapasitas mesin tengah $a = 10$, kita dapat memasukkannya langsung ke dalam informasi jumlah total kapasitas ketiga mesin ($35$ ton):
$$\frac{a}{r} + a + ar = 35 \implies \frac{10}{r} + 10 + 10r = 35$$
Manakah pemisalan kelima suku barisan geometri di bawah ini yang paling cepat menemukan suku tengahnya jika hasil kali kelimanya diketahui?
- a, ar, ar², ar³, ar⁴
- a/r², a/r, a, ar, ar²
- a/r, a, ar, ar², ar³
- a-2r, a-r, a, a+r, a+2r
Jawaban: a/r², a/r, a, ar, ar²
Pemisalan B simetris terhadap suku tengah a. Saat kelima suku dikalikan, semua r saling meniadakan menjadi a⁵, sehingga suku tengah langsung didapat. Opsi A menyisakan r¹⁰, Opsi C tidak seimbang sehingga r tidak habis, dan Opsi D adalah pemisalan untuk barisan aritmetika bukan geometri.
Memilih pemisalan simetris saat hasil kali suku barisan geometri berjumlah ganjil diketahui
Mengurai Persamaan Rasio
Persamaan pecahan aljabar untuk mencari rasio dapat diselesaikan dengan mengalikan kedua ruas dengan variabel penyebutnya dan memfaktorkannya. Kita telah mendapatkan persamaan jumlah kapasitas ketiga mesin setelah menyubstitusikan nilai mesin tengah $a = 10$:
$$\frac{10}{r} + 10 + 10r = 35$$
Langkah pertama adalah memindahkan suku konstan $10$ ke ruas kanan:
$$\frac{10}{r} + 10r = 35 - 10$$
$$\frac{10}{r} + 10r = 25$$
Untuk menyingkirkan penyebut $r$ pada pecahan, kalikan seluruh persamaan (kedua ruas) dengan $r$:
$$r \cdot \left(\frac{10}{r} + 10r\right) = 25 \cdot r$$
$$10 + 10r^2 = 25r$$
Susun suku-suku tersebut menjadi persamaan kuadrat baku dalam bentuk $Ar^2 + Br + C = 0$:
$$10r^2 - 25r + 10 = 0$$
Agar pemfaktoran lebih mudah, sederhanakan persamaan kuadrat ini dengan membagi kedua ruas dengan FPB-nya, yaitu $5$:
$$\frac{10r^2 - 25r + 10}{5} = \frac{0}{5} \implies 2r^2 - 5r + 2 = 0$$
Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:
$$(2r - 1)(r - 2) = 0$$
Dari faktor-faktor ini, kita memperoleh dua nilai pembuat nol untuk rasio $r$:
$$2r - 1 = 0 \implies r = \frac{1}{2}$$
$$r - 2 = 0 \implies r = 2$$
Kita mendapatkan dua nilai rasio yang berbeda, yaitu $r = 2$ dan $r = \frac{1}{2}$. Apakah kedua rasio ini valid untuk mesin pabrik nyata? Mari kita telusuri di halaman berikutnya.