Kuartil Data Kelompok: Skor Leaderboard

Mencari Pemain ke-15 di Leaderboard

Kuartil Bawah ($Q_1$) adalah skor milik pemain yang tepat berada di batas $25\%$ terbawah dari keseluruhan barisan data.

Bayangkan seluruh $60$ siswa pada soal adalah peserta di sebuah papan peringkat (leaderboard server game) yang diurutkan dari skor terendah sampai tertinggi. Batas nilai $Q_1$ menandai skor minimal yang dibutuhkan agar seorang pemain bisa lepas dari zona peringkat seperempat terbawah. Untuk mengetahui siapa pemilik skor itu, kita cukup mencari posisi urutannya: $25\%$ dari total $60$ pemain adalah pemain ke-$15$.

Berdasarkan data histogram pada soal, kelompok pertama (Tier $51 - 60$) menampung $5$ pemain. Karena kita mencari pemain ke-$15$, kuota di tier pertama jelas belum cukup. Pemain ke-$15$ tersebut berada di kelompok berikutnya, yaitu Tier $61 - 70$, karena gabungan kedua kelompok ini sanggup menampung hingga $5 + 12 = 17$ orang.

Batas Nyata Sebuah Tier

Dalam histogram kontinu, batas sebenarnya antar dua kelas menutupi celah angka pada sumbu horizontal.

Pemain ke-$15$ berada di dalam Tier $61 - 70$. Pertanyaannya: berapa 'skor dasar' terendah untuk sekadar menginjakkan kaki masuk ke tier ini? Jika kita langsung mengambil angka $61$, akan muncul celah kosong selebar $1$ poin dari batas atas tier sebelumnya ($51 - 60$). Padahal, pada penyajian data histogram kontinu, setiap balok menempel rapat tanpa ada nilai yang terbuang di antara kelas.

Untuk menutup celah antara nilai $60$ dan $61$, batas sesungguhnya ditarik tepat di titik tengahnya, yaitu pada nilai $60{,}5$. Nilai inilah yang disebut sebagai Tepi Kelas bagian bawah (atau Tepi Bawah, dinotasikan dengan $L$). Siapapun yang berhasil masuk ke dalam Tier $61 - 70$ sudah mengantongi modal skor awal sebesar $60{,}5$.

Progres di Dalam Tier

Pecahan pada rumus kuartil adalah rasio posisi pemain relatif terhadap jumlah pemain di tier-nya sendiri.

Skor dasar masuk tier sudah kita ketahui, yaitu $60{,}5$. Sekarang, kita perlu menentukan seberapa jauh posisi pemain ke-$15$ merangkak naik di dalam Tier $61 - 70$. Ingat bahwa sebelum tier ini dimulai, sudah ada $5$ pemain yang menghuni tier sebelumnya. Jumlah orang yang sudah lewat ini disebut sebagai Frekuensi Kumulatif ($f_k$).

Karena ada $5$ orang di belakangnya, maka di dalam tier-nya sendiri, pemain target kita berada di urutan ke-$(15 - 5) = 10$. Total pemain yang bersaing di dalam tier ini ada $12$ orang. Artinya, progres pemain tersebut berada pada posisi $10$ dari total $12$ orang yang ada. Bagian pecahan pada rumus kuartil data kelompok tak lain adalah rasio progres tersebut:

$$\text{Rasio Progres} = \frac{\text{Letak } Q_1 - f_k}{f_{Q_1}} = \frac{15 - 5}{12} = \frac{10}{12}$$