Konsep Jarak dan Proporsi Waktu

Jarak Total dalam Ruang 3D

Jarak lurus antara dua titik dalam ruang tiga dimensi dihitung menggunakan selisih ketiga koordinatnya.

Ketika kita melihat lintasan dari stasiun $P(2,3,5)$ menuju stasiun $T(8,11,5)$, kita sedang menghubungkan dua ujung perjalanan pada koordinat vektor 3D. Jarak lurus $d(PT)$ dapat langsung dihitung dengan menarik akar kuadrat dari penjumlahan kuadrat selisih masing-masing sumbu:

$$\begin{aligned} d(PT) &= \sqrt{(8 - 2)^2 + (11 - 3)^2 + (5 - 5)^2} \\ &= \sqrt{6^2 + 8^2 + 0^2} \\ &= \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\text{ km} \end{aligned}$$

Dengan begitu, bentangan seluruh rute dari stasiun awal hingga akhir memiliki panjang lintasan tepat sebesar $10\text{ km}$.

Proporsi Menit dan Kilometer

Pada laju yang konstan, proporsi dari waktu tempuh berbanding lurus dengan jarak tempuhnya.

Memetakan gerak kereta berkecepatan konstan ini ibarat membayangkan kita sedang menyetir mobil pada laju stabil di jalan tol: kalau dalam $10\text{ menit}$ kita menempuh jarak total $10\text{ km}$ tanpa pernah menginjak rem atau gas, maka setiap $1\text{ menit}$ mobil kita maju sejauh tepat $1\text{ km}$. Kecepatan konstan bermakna laju kendaraan tidak mengalami perubahan atau percepatan sama sekali dari awal sampai akhir perjalanan.

Karena perbandingan durasi dan jaraknya satu banding satu, yaitu:

$$\text{Kecepatan} = \frac{10\text{ km}}{10\text{ menit}} = 1\text{ km/menit}$$

kamu hanya perlu melihat durasi menit di setiap rute untuk langsung mengetahui jarak aslinya. Misalnya, perjalanan yang memakan waktu $3\text{ menit}$ otomatis setara dengan jarak tempuh sejauh $3\text{ km}$.

Pola membagi total jarak berdasar rasio waktu seperti ini sering kali kita temui saat memecahkan masalah perjalanan antarkota berkecepatan tetap maupun penguraian komponen vektor kecepatan yang stabil.

Menyeleksi Segmen Jarak

Mengalikan proporsi kecepatan dengan tiap pemenggalan durasi waktu mengungkapkan panjang segmen aslinya.

Dengan kecepatan kereta sebesar $1\text{ km/menit}$, kita dapat menghitung panjang lintasan setiap pasang stasiun berdasarkan waktu tempuhnya:

• Jarak $PQ = 3\text{ menit} \times 1\text{ km/menit} = 3\text{ km}$

• Jarak $QR = 2\text{ menit} \times 1\text{ km/menit} = 2\text{ km}$

• Jarak $RS = 4\text{ menit} \times 1\text{ km/menit} = 4\text{ km}$

• Jarak $ST = 1\text{ menit} \times 1\text{ km/menit} = 1\text{ km}$

• Jarak $RT = RS + ST = 4\text{ km} + 1\text{ km} = 5\text{ km}$

Sekarang, kita uji kriteria soal yang meminta pasangan stasiun dengan jarak kurang dari $3\text{ km}$ (secara ketat $< 3\text{ km}$):

• Opsi A ($PQ$) salah: Jarak $PQ$ bernilai tepat $3\text{ km}$. Nilai $3$ tidak kurang dari $3$, sehingga tidak memenuhi batas pertidaksamaan.

• Opsi B ($QR$) benar: Jarak $QR$ adalah $2\text{ km}$, yang nilainya jelas kurang dari $3\text{ km}$.

• Opsi C ($RS$) salah: Jarak $RS$ adalah $4\text{ km}$, lebih dari $3\text{ km}$.

• Opsi D ($ST$) benar: Jarak $ST$ adalah $1\text{ km}$, yang nilainya memenuhi kriteria kurang dari $3\text{ km}$.

• Opsi E ($RT$) salah: Jarak $RT$ merupakan akumulasi segmen $RS$ dan $ST$ sepanjang $5\text{ km}$, lebih dari $3\text{ km}$.