Membongkar Mesin Transformasi

Aturan Main Kecukupan Data

Soal Kecukupan Data menguji kemandirian informasi, bukan mewajibkan penggabungan informasi. Di tipe soal ini, kita tidak selalu diminta mencari angka akhir sampai tuntas, melainkan memastikan apakah jalur perhitungannya lengkap dan mampu memberikan jawaban tunggal yang pasti.

Banyak yang langsung tergoda menggabungkan Pernyataan (1) dan (2) sejak awal karena merasa dua informasi pasti lebih lengkap daripada satu. Padahal, logika pengujiannya harus bertahap dan terpisah:

Jadi, kunci utamanya adalah selalu perlakukan tiap pernyataan sebagai dua penyelidikan yang berdiri sendiri. Jangan buru-buru menyatukan keduanya sebelum masing-masing diuji kekuatannya secara mandiri.

Determinan Sebagai Segel Kualitas

Determinan matriks $2 \times 2$ dapat langsung memberikan nilai suatu variabel di dalam matriks jika hasil determinannya diketahui. Kita bisa mengibaratkan Matriks Transformasi $M$ sebagai sebuah Mesin Pindah Posisi, dengan variabel $a$ sebagai salah satu roda gigi pengatur di dalamnya yang nilainya belum kita ketahui. Sementara itu, Determinan berperan seperti 'segel kualitas' dari mesin tersebut.

Pernyataan (1) menyebutkan bahwa determinan matriks $M = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ bernilai $-7$. Berdasarkan aturan perkalian silang matriks $2 \times 2$, nilai determinan dihitung dengan mengalikan elemen diagonal utama lalu dikurangi hasil kali diagonal samping:

$$\det(M) = (a)(2) - (1)(1) = 2a - 1$$

Karena nilai determinan sudah dipatok $-7$, kita peroleh satu persamaan linier sederhana:

$$2a - 1 = -7 \implies 2a = -6 \implies a = -3$$

Hanya berbekal Pernyataan (1) sendirian, kita sudah berhasil mengunci satu nilai $a$ yang pasti. Artinya, Pernyataan (1) SAJA cukup. Temuan ini langsung menggugurkan Opsi B (yang mengira pernyataan 1 tidak cukup), Opsi C (yang memaksa harus menggabungkan data), dan Opsi E (yang mengira data kurang). Sekarang, kita tinggal membuktikan apakah Pernyataan (2) juga mampu berdiri sendiri.

Input dan Output Mesin

Titik bayangan adalah produk akhir, yang jika disubstitusi kembali ke sistem matriks akan mengungkapkan variabel yang tersembunyi. Sekarang, lupakan sejenak Pernyataan (1) dan mari kita uji Pernyataan (2) secara mandiri: Bayangan Garis $l$ melalui titik $(6, 0)$.

Garis awal $l: 2x - 3y + 6 = 0$ berisi sekumpulan titik asal $(x, y)$ sebagai bahan baku. Ketika diproses oleh Mesin Pindah Posisi $M$, titik-titik tersebut berubah menjadi titik baru $(x', y')$ dengan relasi:

$$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

Karena titik bayangan $(6, 0)$ berada pada garis hasil transformasi, kita tahu bahwa $x' = 6$ dan $y' = 0$. Mari kita uraikan perkalian baris matriksnya:

1. Dari baris kedua: $0 = 1(x) + 2(y)$, yang langsung menghasilkan hubungan $x = -2y$.

2. Dari baris pertama: $6 = a(x) + 1(y)$. Substitusikan $x = -2y$, sehingga didapat $6 = a(-2y) + y \implies y(1 - 2a) = 6$.

Titik asal $(x, y)$ tersebut wajib berada pada garis mula-mula $2x - 3y + 6 = 0$. Dengan memasukkan $x = -2y$, kita peroleh:

$$2(-2y) - 3y + 6 = 0 \implies -7y + 6 = 0 \implies y = \frac{6}{7}$$

Substitusikan nilai $y = \frac{6}{7}$ ke persamaan baris pertama tadi:

$$\frac{6}{7}(1 - 2a) = 6 \implies 1 - 2a = 7 \implies 2a = -6 \implies a = -3$$

Pernyataan (2) terbukti mampu menghasilkan nilai $a = -3$ secara tunggal dan mandiri tanpa bantuan determinan sama sekali! Karena Pernyataan (1) saja cukup dan Pernyataan (2) saja cukup, maka kesimpulan akhirnya adalah Opsi D, sekaligus mematahkan Opsi A yang menganggap Pernyataan (2) tidak cukup.