Peluang & Pengembalian: Memetakan Skenario
Misteri 'Dengan Pengembalian'
Bayangkan kamu lagi ngambil undian berhadiah dari dalam sebuah kotak. Kalau kamu ambil satu gulungan kertas, baca isinya, lalu masukin lagi kertas itu ke dalam kotak sebelum orang kedua ngambil, apa yang terjadi? Yap, isi kotaknya balik utuh seperti semula. Peluang orang kedua buat dapet hadiah SAMA PERSIS dengan peluangmu.
Di soal tadi, kejadian serupa terjadi pada bola-bola. Ada Kotak A yang isinya 8 bola hijau dan 2 bola kuning (total 10 bola). Peluang terambil bola kuning pada pengambilan pertama adalah $\frac{2}{10}$.
Nah, kalau bola kuning pertama tadi disimpan (tanpa pengembalian), sisa bola di kotak tinggal 9, dan peluang ngambil kuning lagi bakal mengecil jadi $\frac{1}{9}$. Tapi, karena di soal tertulis dengan pengembalian, kotak A kembali utuh jadi 10 bola. Peluang kuning kedua tetap $\frac{2}{10}$.
Inilah pondasi paling penting: setiap kali kita ngambil bola dari kotak, kita selalu berhadapan dengan kondisi kotak yang fresh.
Sebuah kantong berisi 3 kelereng merah dan 7 kelereng biru. Kamu mengambil satu kelereng, mencatat warnanya (ternyata merah), lalu MENGEMBALIKANNYA ke dalam kantong. Manakah pernyataan yang benar tentang pengambilan kedua?
- A. Peluang mendapat kelereng merah pada pengambilan kedua menjadi 2/9.
- B. Peluang mendapat kelereng merah pada pengambilan kedua tetap 3/10.
- C. Peluang mendapat kelereng merah pada pengambilan kedua menjadi 3/9.
- D. Peluang mendapat kelereng biru pada pengambilan kedua menjadi 8/10.
Jawaban: B. Peluang mendapat kelereng merah pada pengambilan kedua tetap 3/10.
Karena ada pengembalian, kondisi kantong kembali seperti semula (3 merah, 7 biru, total 10). Peluang merah pada pengambilan kedua persis sama dengan pengambilan pertama, yaitu 3/10.
Pengambilan dengan pengembalian membuat setiap kejadian bersifat independen, sehingga peluang tidak berubah antar pengambilan.
Satu Kotak, Dua Kali Ambil
Sekarang kita udah tau kalau pengambilan dengan pengembalian itu menjaga peluang tetap stabil. Mari kita petakan apa saja yang bisa terjadi kalau kita ngambil bola dua kali berturut-turut dari Kotak A.
Biar gampang ngebayangin semua kemungkinannya, senjata andalan kita adalah diagram pohon.
Kalau kita pengen dapetin hasil tepat 1 bola kuning dari 2 kali pengambilan ini, perhatikan bahwa urutan itu penting!
Dapet Kuning di pengambilan pertama lalu Hijau di pengambilan kedua (K - H) adalah cabang yang berbeda dengan dapet Hijau duluan lalu baru Kuning (H - K).
Jadi, untuk Kotak A sendiri, peluang dapetin 1 Kuning (dan pastinya 1 Hijau) berasal dari dua cabang tersebut, bukan cuma satu jalur aja.
Jika kamu melempar koin yang seimbang (peluang Angka 1/2, peluang Gambar 1/2) sebanyak 2 kali, manakah pernyataan yang BENAR berdasarkan konsep diagram pohon? (Pilih semua yang tepat)
- Peluang mendapat koin Angka lalu koin Angka adalah 1/4.
- Hanya ada satu cara (satu jalur) untuk mendapatkan tepat 1 koin Gambar dari dua kali lemparan.
- Peluang mendapatkan urutan Angka lalu Gambar adalah 1/4.
- Peluang mendapatkan urutan Gambar lalu Gambar dicari dengan cara menambah (1/2 + 1/2).
Jawaban: Peluang mendapat koin Angka lalu koin Angka adalah 1/4.; Peluang mendapatkan urutan Angka lalu Gambar adalah 1/4.
Peluang Angka lalu Angka = 1/2 * 1/2 = 1/4. Peluang Angka lalu Gambar juga 1/2 * 1/2 = 1/4. Untuk tepat 1 Gambar, ada DUA jalur: (Angka-Gambar) ATAU (Gambar-Angka). Antar lemparan saling bebas, jadi peluang selalu DIKALI, bukan ditambah.
Mendapatkan tepat 1 kejadian tertentu dari 2 percobaan bisa terjadi melalui dua urutan (A-B atau B-A). Peluang satu jalur didapat dengan mengalikan probabilitasnya.
Jebakan Dua Kotak
Masalahnya, soal ini nggak berhenti di Kotak A. Kita punya Kotak A dan Kotak B, dan masing-masing diambil 2 bola. Total ada 4 bola yang ditarik, dan target utamanya adalah: TEPAT 1 bola kuning dari keempat bola tersebut.
Di sinilah sering muncul jebakan. Saat kamu menjawab $0,32$, kemungkinan besar kamu cuma ngitung salah satu skenario saja dan lupa kalau target "1 bola kuning" secara keseluruhan butuh pembagian peran yang ketat antara dua kotak.
Karena kita cuma boleh punya maksimal 1 bola kuning, maka aturannya begini:
Kalau Kotak A udah "nyumbang" bola kuning, Kotak B dilarang keras ngeluarin bola kuning lagi (alias Kotak B harus ngasih 0 kuning). Ini kita sebut Skenario 1.
Sebaliknya, kalau Kotak A gagal ngasih bola kuning (0 kuning), maka bola kuning itu wajib datang dari Kotak B (1 kuning). Ini kita sebut Skenario 2.
Jadi, untuk menyelesaikan soal dua kejadian gabungan begini, kita nggak bisa cuma ngitung satu kasus. Kita harus merincikan semua kemungkinan cara (skenario) untuk mencapai target tersebut.