Eksponen: Aljabar yang Pakai Topeng

Eksponen sebagai "Benda"

Bayangkan bentuk aljabar sederhana ini: $3y + 1y = 4y$. Kamu pasti udah sangat familiar dengan operasi ini sejak awal belajar aljabar. Selama variabelnya sama (sama-sama $y$), kita bisa langsung menjumlahkan angka di depannya (koefisien).

Sekarang, mari kita ganti "topeng" $y$ itu dengan sebuah bentuk eksponen, misalnya $3^x$. Kalau kita punya persamaan $3 \cdot 3^x + 1 \cdot 3^x$, logikanya sama persis!

Konsep kuncinya di sini adalah: Persamaan eksponen yang dijumlahkan seringkali cuma operasi aljabar biasa, di mana ekspresi eksponennya bertindak sebagai "benda" tunggal. Selama "benda"-nya persis sama, kamu bisa jumlahkan koefisien di depannya.

Jika kamu memiliki persamaan $5 \cdot 2^x - 2 \cdot 2^x$, bentuk sederhananya adalah...

  • A. $3 \cdot 2^x$
  • B. $10 \cdot 2^x$
  • C. $3 \cdot 4^x$
  • D. $3$

Jawaban: A. $3 \cdot 2^x$

Sama seperti $5y - 2y = 3y$, maka $5(2^x) - 2(2^x) = 3(2^x)$. Eksponen $2^x$ bertindak sebagai benda yang tidak berubah.

Eksponen dengan basis dan pangkat yang sama bisa dioperasikan layaknya variabel dalam aljabar.

Taktik Menyamakan "Benda"

Di halaman sebelumnya, kita bisa menjumlahkan karena "benda"-nya sama-sama $3^x$. Tapi gimana kalau di soal aslinya bentuknya beda? Di soal awal, kita punya $3^{x+1} + 3^x = 108$. Pangkatnya beda, jadi kita nggak bisa langsung main jumlahin aja.

Inilah saatnya kita membongkar bentuk yang lebih kompleks biar "benda"-nya sama. Ingat lagi sifat eksponen perkalian: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$

Dengan trik ini, $3^{x+1}$ berubah jadi $3^x \cdot 3$, atau biasa ditulis $3 \cdot 3^x$. Nah, sekarang persamaannya berubah jadi: $(3 \cdot 3^x) + (1 \cdot 3^x) = 108$. Bentuknya udah sama-sama punya $3^x$, dan siap dieksekusi seperti aljabar biasa!

Bentuk $2^{x+3}$ jika diurai agar memunculkan $2^x$ akan menjadi...

  • A. $2^x + 2^3$
  • B. $2^x \cdot 3$
  • C. $8 \cdot 2^x$
  • D. $6 \cdot 2^x$

Jawaban: C. $8 \cdot 2^x$

$2^{x+3} = 2^x \cdot 2^3$. Karena $2^3 = 8$, maka bentuknya menjadi $8 \cdot 2^x$.

Sifat a^{m+n} = a^m \cdot a^n digunakan untuk memisahkan variabel di eksponen agar memunculkan bentuk yang sama.

Mengeksekusi Persamaan

Setelah "benda"-nya disamakan, pengerjaannya cuma butuh operasi dasar aja. Mari kita lanjutkan persamaan yang sudah kita bongkar tadi: $(3 \cdot 3^x) + (1 \cdot 3^x) = 108$

Seperti yang kita bahas di halaman pertama, karena "benda"-nya sama-sama $3^x$, bentuk ini menyatu menjadi: $4 \cdot 3^x = 108$

Karena $3 \times 3 \times 3 = 27$, maka $27$ adalah $3^3$. Sehingga, $3^x = 3^3$. Dari sini kita bisa simpulkan dengan gampang kalau nilai $x = 3$.

Jika kamu sampai pada langkah $5 \cdot 2^x = 40$, berapakah nilai $x$?

  • A. $2$
  • B. $3$
  • C. $4$
  • D. $8$

Jawaban: B. $3$

Bagi kedua ruas dengan 5, didapat $2^x = 8$. Karena $8 = 2^3$, maka $x = 3$.

Setelah persamaan disederhanakan ke bentuk c \cdot a^x = k, bagi dengan konstanta lalu samakan basis eksponennya.