Menyederhanakan Kuadrat Bentuk Akar

Asal Usul Kuadrat Suku Dua

Bentuk kuadrat suku dua tidak bisa langsung disederhanakan dengan mengkuadratkan masing-masing suku di dalamnya. Bayangkan ekspresi di dalam kurung kuadrat ini seperti membuka parsel: kita tidak bisa hanya mengambil dua barang di ujung kiri dan kanan saja. Di dalamnya ada 'pita pengikat' berupa perkalian silang antar-suku yang wajib dibuka dan dihitung secara teratur.

Ketika kita memiliki bentuk $(a - b)^2$, artinya kita mengalikan bentuk $(a - b)$ dengan dirinya sendiri, yaitu $(a - b)(a - b)$. Melalui proses ekspansi dengan sifat perkalian distributif, setiap suku di kurung pertama dikalikan ke setiap suku di kurung kedua.

Skema perkalian distributif untuk ekspansi a - b a - b menghasilkan a² - 2ab + b²

Perhatikan perubahan tandanya dengan saksama:

  1. Suku pertama: $a \times a = a^2$

  2. Suku silang pertama: $a \times (-b) = -ab$

  3. Suku silang kedua: $(-b) \times a = -ab$

  4. Suku terakhir: $(-b) \times (-b) = +b^2$

Manakah hasil ekspansi yang tepat dari bentuk kuadrat suku dua $(x - y)^2$?

  • $x^2 - y^2$
  • $x^2 - 2xy - y^2$
  • $x^2 - 2xy + y^2$
  • $x^2 + 2xy + y^2$

Jawaban: $x^2 - 2xy + y^2$

Penjabaran $(x - y)^2$ sama dengan $(x - y)(x - y)$. Melalui perkalian distributif, kita memperoleh $x \cdot x = x^2$, suku silang $x(-y) + (-y)x = -2xy$, dan suku terakhir $(-y)(-y) = +y^2$. Opsi A salah karena melupakan suku silang di tengah, Opsi B salah karena tanda pada suku terakhir seharusnya positif, dan Opsi D salah karena tanda suku tengah seharusnya negatif.

Suku terakhir dari hasil kuadrat pengurangan selalu bernilai positif (+y^2) karena perkalian dua tanda negatif menghasilkan tanda positif.

Menerapkan pada Bentuk Akar

Akar kuadrat yang dikuadratkan akan kembali menjadi bilangan di dalamnya. Konsep ini mempermudah kita saat memasukkan bentuk akar ke dalam formula ekspansi suku dua yang sudah kita temukan sebelumnya.

Mari kita buka kembali 'parsel' kurung kuadrat dari ekspresi $(\sqrt{11} - \sqrt{3})^2$. Dengan menetapkan $a = \sqrt{11}$ dan $b = \sqrt{3}$, kita substitusikan masing-masing suku ke dalam pola $a^2 - 2ab + b^2$:

Mengeksekusi Sampai Tuntas

Menyelesaikan persamaan harus memperhitungkan seluruh suku dari awal sampai akhir tanpa ada yang terlewat. Setelah isi parsel berhasil dibuka menjadi $14 - 2\sqrt{33}$, jangan lupa masih ada 'barang lain di luar parsel' yang tertulis pada soal asli, yaitu suku penambah $+ 2\sqrt{33}$.

Sekarang kita gabungkan hasil penjabaran kurung kuadrat dengan suku di luar kurung:

$$(14 - 2\sqrt{33}) + 2\sqrt{33} = 14 + (-2\sqrt{33} + 2\sqrt{33}) = 14 + 0 = 14$$

Kedua suku akar tersebut bernilai sama namun berlawanan tanda, sehingga saling meniadakan. Inilah alasan mengapa Opsi D bernilai benar.

Tentukan apakah pernyataan berikut Benar atau Salah mengenai penyederhanaan ekspresi aljabar bentuk akar.

  • Nilai akhir dari ekspresi $(7 - \sqrt{5}) + \sqrt{5}$ adalah $7$. — Benar
  • Suku di ujung persamaan boleh diabaikan jika perhitungan utamanya sudah selesai. — Salah

Pernyataan 1 Benar karena suku $-\sqrt{5}$ dan $+\sqrt{5}$ memiliki nilai yang sama namun berlawanan tanda, sehingga penjumlahannya menghasilkan $0$ dan menyisakan $7$. Pernyataan 2 Salah karena setiap suku dalam operasi aljabar memengaruhi nilai akhir keseluruhan, sehingga tidak boleh ada suku yang ditinggalkan atau diabaikan.

Suku dengan nilai berlawanan dalam satu ekspresi akan saling meniadakan, dan seluruh suku dalam ekspresi harus dihitung tuntas.