Dua Variabel, Satu Persamaan: Trik Bilangan Bulat
Satu Persamaan Tidak Selalu Buntu
Syarat bilangan bulat positif sangat membatasi kemungkinan angka, sehingga kita tidak membutuhkan persamaan linear kedua.
Dalam aljabar umum, satu persamaan dengan dua variabel bebas seperti $a \times b = 24$ memang punya solusi tak hingga jika angkanya berupa pecahan atau desimal (misalnya $0{,}5 \times 48$ atau $2{,}4 \times 10$). Namun, pada soal ini terdapat petunjuk kunci: $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif (bilangan cacah lebih dari nol, yaitu $1, 2, 3, \dots$).
Batasan ini langsung menyaring kemungkinan menjadi sangat sedikit. Karena $a$ dan $b$ bilangan bulat utuh dan saling mengalikan menghasilkan $24$, maka $a$ dan $b$ harus merupakan faktor pembagi habis dari $24$.
Jika ada persamaan aljabar $x \times y = 15$, manakah pernyataan yang paling tepat mengenai batasan himpunan bilangan pada persamaan tersebut?
- Persamaan tidak bisa diselesaikan karena syarat bilangan bulat membuat angkanya bernilai nol.
- Meskipun dibatasi bilangan bulat, hasil kalinya bisa membentuk kombinasi angka tak terbatas.
- Jika harus bilangan bulat positif, opsinya hanya terbatas pada faktor pembagi 15.
- Jika bilangan bulat positif, kita tetap membutuhkan satu persamaan lagi untuk memecahkannya.
Jawaban: Jika harus bilangan bulat positif, opsinya hanya terbatas pada faktor pembagi 15.
Syarat bilangan bulat positif membatasi nilai variabel hanya pada faktor pembagi bilangan tersebut. Untuk 15, kombinasinya terbatas pada pasangan faktor (1, 15) dan (3, 5). Opsi A salah karena bilangan bulat positif selalu lebih besar dari nol. Opsi B salah karena faktor dari bilangan bulat tertentu jumlahnya terhingga. Opsi D salah karena batasan bilangan bulat sudah cukup untuk menentukan himpunan solusi tanpa perlu persamaan kedua.
Memahami fungsi batasan himpunan bilangan dalam memecahkan persamaan aljabar
Eksplorasi Faktor 24
Semua kemungkinan kombinasi nilai $a$ dan $b$ bisa didapatkan dengan mendaftar pasangan bilangan bulat positif yang hasil kalinya $24$.
Bayangkan $a$ dan $b$ sebagai ukuran sisi (panjang dan lebar) dari sebuah bangun datar persegi panjang. Kita diminta menyusun balok-balok persegi kecil sehingga total luas yang terbentuk selalu tetap, yaitu tepat $24$ satuan luas.
Dengan menyisir bilangan bulat positif pembagi $24$ secara berurutan dari yang terkecil, kita peroleh seluruh pasangan faktor yang mungkin:
$1 \times 24 = 24$
$2 \times 12 = 24$
$3 \times 8 = 24$
$4 \times 6 = 24$
Karena operasi penjumlahan $(a + b)$ bersifat komutatif (bolak-balik hasilnya sama), urutan posisi nilai $a$ atau $b$ (misalnya $1 + 24$ atau $24 + 1$) akan menghasilkan nilai penjumlahan yang persis sama.
Mencari yang Maksimum
Pasangan bilangan bulat dengan rentang selisih paling besar (paling jauh) akan menghasilkan total penjumlahan yang paling maksimum.
Sekarang kita masuk ke tahap optimasi: mencari nilai paling besar dari penjumlahan $a + b$. Mari kita hitung nilai $a + b$ dari seluruh pasangan faktor $24$ yang telah kita kumpulkan sebelumnya:
Untuk $(4, 6) \rightarrow 4 + 6 = 10$
Untuk $(3, 8) \rightarrow 3 + 8 = 11$
Untuk $(2, 12) \rightarrow 2 + 12 = 14$
Untuk $(1, 24) \rightarrow 1 + 24 = 25$
Perhatikan trennya: semakin jauh jarak selisih antara kedua angka, total penjumlahannya justru semakin melonjak naik. Sebaliknya, saat kedua angka saling mendekati nilainya (seperti $4$ dan $6$), hasil penjumlahannya mencapai nilai terkecil (minimum).
Jika dihubungkan dengan analogi kawat keliling persegi panjang, bentuk yang sangat kurus dan memanjang ($1 \times 24$) membutuhkan kawat terpanjang untuk mengelilinginya. Sementara itu, bentuk yang mendekati bujur sangkar ($4 \times 6$) membutuhkan kawat paling hemat.
Di sinilah jebakan pilihan jawaban pada soal:
Opsi A ($10$) adalah hasil penjumlahan dari pasangan $(4, 6)$, yang sebenarnya merupakan nilai minimum dari $a + b$ (dan belum ditambah $5$).
Opsi B ($15$) diperoleh jika memasukkan nilai minimum tersebut ke dalam ekspresi $(4 + 6 + 5 = 15)$. Keduanya keliru karena yang diminta adalah nilai maksimum, bukan minimum.
Diketahui $m \times n = 36$, dengan $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat positif. Pasangan nilai manakah yang akan menghasilkan nilai $(m + n)$ terbesar?
- m = 1 dan n = 36
- m = 2 dan n = 18
- m = 4 dan n = 9
- m = 6 dan n = 6
Jawaban: m = 1 dan n = 36
Ketika hasil kali dua bilangan bulat positif konstan (m x n = 36), nilai penjumlahan (m + n) terbesar tercapai saat selisih kedua bilangan paling jauh, yaitu m = 1 dan n = 36 dengan jumlah 1 + 36 = 37. Opsi D (6 + 6 = 12) justru menghasilkan nilai penjumlahan minimum. Opsi B (2 + 18 = 20) dan Opsi C (4 + 9 = 13) menghasilkan jumlah yang lebih kecil daripada pasangan ekstremnya.
Menentukan pasangan mana yang menghasilkan jumlahan terbesar pada perkalian konstan