Nilai Ekstrem Fungsi Logaritma Komposisi

Struktur Fungsi Bersarang

Fungsi $f(x) = \phantom{}^2\log(x^2 - 6x + 17)$ harus dipecah menjadi dua fungsi terpisah agar nilai minimumnya dapat dianalisis secara terarah. Kita tidak perlu menebak atau mencoba-coba memasukkan nilai $x$ sembarang, melainkan memandang fungsi ini sebagai sebuah fungsi komposisi.

Diagram alir komposisi fungsi dari input x menuju fungsi dalam lalu ke fungsi luar hingga hasil akhir.

Analogi rantai pemrosesan matematis sangat tepat di sini: nilai $x$ mula-mula diproses oleh mesin fungsi bagian dalam, lalu output dari mesin tersebut langsung diteruskan menjadi bahan baku ke mesin fungsi bagian luar:

Dalam rantai ini, nilai akhir $f(x)$ sepenuhnya dikendalikan oleh nilai $u$ yang dihasilkan oleh ekspresi kuadrat di dalamnya. Oleh karena itu, langkah pertama bukanlah langsung mengotak-atik logaritmanya, melainkan mencari batas nilai keluaran yang mungkin dihasilkan oleh $u(x)$.

Nilai Ekstrem lewat Kuadrat Sempurna

Nilai minimum pasti dari sebuah fungsi kuadrat dapat dicari secara analitis dengan mengubahnya ke bentuk kuadrat sempurna. Alih-alih menebak angka di sekitar konstanta $17$, kita gunakan manipulasi aljabar murni untuk memisahkan bagian variabel dari nilai tetapnya:

Sifat mendasar bilangan real menyatakan bahwa bilangan apa pun jika dikuadratkan hasilnya tidak pernah negatif, yaitu $(x - 3)^2 \geq 0$. Nilai terkecil dari suku $(x - 3)^2$ adalah $0$, yang terjadi tepat saat $x = 3$. Akibatnya, nilai minimum mutlak dari fungsi dalam adalah:

Artinya, mesin fungsi kuadrat ini tidak akan pernah mengeluarkan angka yang lebih kecil dari $8$ untuk sembarang nilai $x$ bilangan real.

Jika fungsi kuadrat $v(x) = x^2 - 4x + 10$ diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna, berapakah nilai minimum dari fungsi $v(x)$ tersebut?

  • 2
  • 4
  • 6
  • 10

Jawaban: 6

Bentuk kuadrat sempurna dari v(x) = x^2 - 4x + 10 adalah (x - 2)^2 + 6. Karena (x - 2)^2 minimal bernilai 0, maka nilai minimum fungsi adalah 0 + 6 = 6. Opsi A (2) adalah nilai x saat minimum terjadi, Opsi B (4) adalah koefisien aljabar, dan Opsi D (10) adalah konstanta awal sebelum disempurnakan.

Bentuk kuadrat sempurna memastikan nilai terkecil fungsi kuadrat adalah konstanta penambahnya.

Kemonotonan Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma dengan basis lebih dari 1 bersifat monoton naik, yang berarti ia mencapai nilai minimum saat inputnya minimum. Pada rantai pemrosesan kita, fungsi luar berbentuk $f(u) = \phantom{}^2\log(u)$, di mana angka basisnya adalah $2$.

Grafik kurva logaritma monoton naik di kuadran pertama dengan label sumbu u dan f u .

Karena basis $2 > 1$, grafik logaritma ini selalu menanjak dari kiri ke kanan. Sifat monoton naik ini memberikan kepastian matematis: jika nilai argumen $u$ membesar, maka nilai $f(u)$ ikut membesar; sebaliknya, jika $u$ mengecil, maka $f(u)$ juga mengecil.

Oleh sebab itu, untuk menghasilkan nilai $f(u)$ yang sekecil-kecilnya, kita wajib menyuplai nilai $u$ yang paling kecil. Dari hasil analisis sebelumnya, bahan baku terkecil yang bisa diproduksi oleh fungsi dalam adalah $u_{\text{min}} = 8$. Kita tidak perlu khawatir nilai logaritma akan mengecil secara tak terduga di titik lain karena arah pertumbuhannya searah dengan inputnya.

Tentukan kebenaran dari pernyataan berikut mengenai sifat fungsi logaritma $f(p) = \phantom{}^3\log(p)$!

  • Jika p adalah bilangan positif yang semakin membesar, nilai f(p) akan ikut membesar. — Benar
  • Nilai minimum f(p) bisa dicapai saat kita memasukkan nilai p yang paling besar. — Salah

Pernyataan 1 Benar karena basis 3 > 1 membuat fungsi bersifat monoton naik, sehingga bertambahnya p membuat nilai f(p) membesar. Pernyataan 2 Salah karena pada fungsi yang monoton naik, nilai minimum hanya dapat tercapai jika input p yang dimasukkan adalah nilai terkecil (minimum), bukan yang paling besar.

Fungsi dengan basis logaritma lebih dari 1 menghasilkan output terkecil saat argumennya minimum.