Menumpuk Error Saat Berhitung

Makna Mutlak dan Relatif

Ketidakpastian mutlak mengukur besaran error secara langsung, sedangkan ketidakpastian relatif mengukur persentase error untuk melihat seberapa teliti pengukuran tersebut.

Bandingkan dua kejadian sederhana: kamu salah ukur sejauh $1\text{ cm}$ saat mengukur pensil sepanjang $10\text{ cm}$, dibandingkan salah ukur $1\text{ cm}$ saat mengukur bentang jalan raya sepanjang $1\text{ km}$ ($100.000\text{ cm}$). Nilai selisih $1\text{ cm}$ inilah yang disebut Ketidakpastian Mutlak, yaitu rentang kesalahan nyata dengan satuan yang sama persis seperti besaran yang diukur. Angka nominalnya sama persis di kedua kasus, namun dampak fisisnya sangat berlawanan.

Dampak kesalahan ukur selalu dinilai melalui perbandingan terhadap nilai totalnya. Kesalahan $1\text{ cm}$ pada pensil $10\text{ cm}$ berarti ada error sebesar $10\%$, sedangkan kesalahan $1\text{ cm}$ pada jalan raya $100.000\text{ cm}$ hanya menghasilkan error $0{,}001\%$. Nilai rasio atau persentase ini disebut Ketidakpastian Relatif. Semakin kecil nilai ketidakpastian relatif suatu pengukuran, semakin teliti pengukuran tersebut dan datanya semakin dapat diandalkan.

Penjumlahan Menambah Error Nyata

Saat dua besaran fisika dijumlahkan, ketidakpastian mutlak dari kedua besaran tersebut akan dijumlahkan menjadi rentang error total yang lebih lebar.

Bayangkan proses menyambung dua tongkat: panjang tongkat A tertulis $100 \pm 2\text{ cm}$, sedangkan panjang tongkat B tertulis $50 \pm 1\text{ cm}$. Tongkat A memiliki kemungkinan meleset paling jauh $2\text{ cm}$, sementara tongkat B bisa meleset maksimal $1\text{ cm}$.

Ketika kedua tongkat disambung menjadi satu baris memanjang, panjang utama gabungannya adalah $150\text{ cm}$. Pada skenario terburuk saat kedua tongkat sama-sama meleset ke batas terluarnya, akumulasi batas errornya saling menambah:

$$\Delta Z = \Delta A + \Delta B = 2\text{ cm} + 1\text{ cm} = 3\text{ cm}$$

Prinsip perambatan atau Transmisi Ketidakpastian ini mengonfirmasi kebenaran Opsi A: jika dua besaran fisika dijumlahkan, nilai ketidakpastian mutlak dari hasil penjumlahan merupakan hasil penjumlahan dari ketidakpastian mutlak masing-masing besaran awal.

Jebakan Simetri Saat Mengalikan

Pada proses mengalikan dua besaran ukur, total persentase errornya dijumlahkan, bukan dikalikan seperti halnya angka utama.

Coba evaluasi perhitungan luas pelat persegi panjang dengan Panjang $10 \pm 1\text{ cm}$ (memiliki ketidakpastian relatif $\frac{1}{10} = 10\%$) dan Lebar $20 \pm 2\text{ cm}$ (juga memiliki ketidakpastian relatif $\frac{2}{20} = 10\%$). Luas nominal bidangnya adalah $10\text{ cm} \times 20\text{ cm} = 200\text{ cm}^2$.

Jika kita mengikuti godaan simetri operasi matematika pada Opsi B dengan mengalikan error relatifnya, perhitungannya menjadi $10\% \times 10\% = 1\%$. Secara nalar fisis, hasil ini keliru: tidak masuk akal jika menggabungkan dua alat ukur yang masing-masing meleset $10\%$ tiba-tiba menghasilkan perhitungan luas yang jauh lebih presisi dengan galat hanya $1\%$.

Hal ini membuktikan mengapa Opsi B tidak sesuai: pada operasi perkalian ataupun pembagian, nilai ketidakpastian relatif hasil akhir diperoleh dengan cara menjumlahkan ketidakpastian relatif penyusunnya, bukan mengalikannya.