Jejak Bola Pantul: Menghitung Jarak Tak Hingga

Melacak Jejak Naik Turun

Satu siklus pantulan selalu terdiri dari lintasan bergerak naik lalu bergerak turun sejauh jarak yang sama.

Bayangkan jejak pantulan bola seperti menggambar rentetan bukit yang semakin mengecil. Setiap bukit memiliki tanjakan (naik) dan turunan (turun) yang sama persis tingginya. Namun, perhatikan bagian awalnya: bola hanya dijatuhkan dari atas, sehingga awal perjalanan bola hanyalah berupa tebing turunan saja tanpa diawali tanjakan.

Pada simulasi di atas, geser slider untuk menelusuri tahap gerakan bola pada fase-fase awal:

1. Jatuh mula-mula: Bola dilepaskan dari ketinggian $20\text{ meter}$. Ini murni lintasan turun sejauh $20\text{ meter}$.

2. Pantulan ke atas: Saat menyentuh tanah, bola memantul naik mencapai ketinggian $16\text{ meter}$ ($\frac{4}{5}$ dari $20\text{ meter}$).

3. Jatuh kembali: Setelah mencapai titik puncak $16\text{ meter}$, bola tidak melayang di udara, melainkan harus jatuh kembali sejauh $16\text{ meter}$ ke lantai sebelum memantul lagi.

Menjumlahkan yang Turun

Rumus deret geometri dengan suku awal ketinggian jatuh pertama hanya menghitung semua lintasan turun.

Jika kita mendaftar setiap kali bola bergerak jatuh ke arah lantai, kita mendapatkan barisan bilangan: $20\text{ meter}$, lalu $16\text{ meter}$, lalu $12{,}8\text{ meter}$, dan seterusnya. Nilai tiap penurunan selalu dikalikan dengan rasio pengali tetap, yaitu $r = \frac{4}{5}$.

Karena pantulan terjadi terus-menerus hingga bola berhenti, kita menjumlahkan seluruh lintasan ini menggunakan konsep Deret Geometri Tak Hingga dengan suku pertama $a = 20$:

$$S_{\text{turun}} = \frac{a}{1 - r} = \frac{20}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{20}{\frac{1}{5}} = 100\text{ meter}$$

Angka $100\text{ meter}$ inilah yang menjadi jebakan utama pada Opsi B. Seperti yang terlihat saat kamu menumpuk semua garis jatuh pada interaktif di atas, nilai $100\text{ meter}$ tersebut murni baru mewakili total jarak bola saat bergerak ke arah bawah.

Gerakan bola ke arah atas sama sekali belum dihitung di dalam angka ini.

Total Turun dan Total Naik

Total jarak bola adalah hasil penjumlahan keseluruhan lintasan turun dengan keseluruhan lintasan naik.

Sekarang, kita kelompokkan sisi bukit yang lain: seluruh gerakan saat bola bergerak memantul ke atas. Pantulan naik baru dimulai setelah bola menyentuh lantai untuk pertama kalinya. Ketinggian pantulan pertama adalah $16\text{ meter}$, sehingga $a = 16$ menjadi suku pertama untuk kelompok lintasan naik.

Dengan rasio pengali yang sama ($r = \frac{4}{5}$), jumlah seluruh lintasan naik adalah:

$$S_{\text{naik}} = \frac{a}{1 - r} = \frac{16}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{16}{\frac{1}{5}} = 80\text{ meter}$$

Angka $80\text{ meter}$ ini merupakan godaan pada Opsi A, yang hanya menghitung lintasan naik saja.

Jarak tempuh total bola adalah gabungan dari kedua kelompok tersebut:

$$\text{Jarak Total} = S_{\text{turun}} + S_{\text{naik}} = 100\text{ meter} + 80\text{ meter} = 180\text{ meter}$$

Hasil akhir $180\text{ meter}$ ini menjadikan Opsi E sebagai jawaban yang benar.

Mari kita periksa mengapa pilihan lainnya keliru:

• Opsi A ($80$) salah karena hanya memperhitungkan lintasan naik.

• Opsi B ($100$) salah karena hanya memperhitungkan lintasan turun.

• Opsi C ($120$) salah karena menambahkan tinggi awal $20\text{ meter}$ ke dalam total lintasan turun $100\text{ meter}$ ($100 + 20$), padahal lintasan jatuh pertama sudah termasuk di dalam deret turun tersebut.

• Opsi D ($160$) salah karena mengalikan dua total lintasan naik ($2 \times 80$), seolah-olah bola sejak awal dilepas dari ketinggian $16\text{ meter}$ dan melupakan jatuh mula-mula dari $20\text{ meter}$.