Rahasia Keterbagian n² - 1
Eksperimen Angka Konkret
Menguji beberapa angka ganjil ke dalam bentuk aljabar membantu kita melihat pola pembaginya secara langsung. Saat berhadapan dengan bentuk seperti $n^2 - 1$ yang abstrak, cara termudah untuk memahami perilakunya adalah dengan memasukkan beberapa contoh bilangan ganjil nyata berturut-turut.
Mari kita hitung nilai $n^2 - 1$ untuk tiga bilangan ganjil pertama yang lebih besar dari satu:
Untuk $n = 3$: hasil perhitungannya adalah $3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$.
Untuk $n = 5$: hasil perhitungannya adalah $5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$.
Untuk $n = 7$: hasil perhitungannya adalah $7^2 - 1 = 49 - 1 = 48$.
Sekarang, perhatikan ketiga hasil tersebut: $8$, $24$, dan $48$. Kita mencari bilangan yang dipastikan dapat membagi habis ketiganya sekaligus. Angka $4$ memang dapat membagi habis $8$, $24$, dan $48$, tetapi $4$ bukan pembagi terbesar yang pasti. Angka terbesar yang dapat membagi habis ketiga bilangan tersebut adalah $8$ (sesuai Opsi C).
Sementara itu, pilihan lain langsung gugur hanya dengan melihat hasil dari $n = 3$, yaitu $8$:
Opsi B ($6$) gugur karena $8$ tidak habis dibagi $6$.
Opsi D ($12$) gugur karena $8$ tidak habis dibagi $12$.
Opsi E ($16$) gugur karena $8$ tidak habis dibagi $16$.
Opsi A ($4$) benar bisa membagi, namun soal menanyakan sifat keterbagian utuh yang paling kuat di mana $8$ adalah pembagi pasti yang lebih besar.
Membongkar Bentuk Aljabar
Bentuk $n^2 - 1$ selalu dapat dipecah menjadi perkalian dua bilangan yang posisinya mengapit $n$. Dalam matematika, pemecahan ini dikenal sebagai faktorisasi selisih dua kuadrat:
$$n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$$
Bayangkan angka $n$ sebagai Rumah Ganjil yang berdiri di tengah jalan. Maka, faktor $(n - 1)$ dan $(n + 1)$ adalah Dua Tetangga yang letaknya bersebelahan persis mengapit rumah tersebut: satu rumah tepat di sebelah kiri dan satu rumah tepat di sebelah kanan.
Sebagai contoh nyata, jika kita memilih Rumah Ganjil nomor $n = 5$:
Rumah di sebelah kiri adalah $n - 1 = 5 - 1 = 4$.
Rumah di sebelah kanan adalah $n + 1 = 5 + 1 = 6$.
Perhatikan bahwa angka $4$ dan $6$ keduanya adalah bilangan genap. Karena posisi $n$ adalah bilangan ganjil, maka kedua tetangga yang mengapitnya dipastikan selalu berupa dua bilangan genap yang saling berurutan. Artinya, bentuk $n^2 - 1$ sebenarnya merupakan perkalian dari Dua Tetangga Genap.
Jika $m$ adalah suatu bilangan bulat, bentuk aljabar $m^2 - 1$ selalu setara dengan perkalian dari...
- Bilangan m dan bilangan bulat tepat setelahnya
- Dua bilangan ganjil yang selalu berurutan
- Dua bilangan genap yang selalu berurutan
- Dua bilangan yang posisinya tepat mengapit m
Jawaban: Dua bilangan yang posisinya tepat mengapit m
Bentuk $m^2 - 1$ dapat difaktorkan menjadi $(m - 1)(m + 1)$, yaitu satu angka sebelum dan satu angka setelah $m$ (dua bilangan yang mengapit $m$). Pilihan A salah karena itu bernilai $m(m + 1) = m^2 + m$. Pilihan B dan C salah karena apakah kedua tetangga tersebut bernilai genap atau ganjil sangat bergantung pada nilai $m$ itu sendiri.
Bentuk selisih dua kuadrat memodelkan perkalian dua bilangan yang posisinya mengapit nilai awal.
Rahasia Dua Tetangga Genap
Dari dua bilangan genap yang berurutan, salah satunya pasti merupakan kelipatan empat. Banyak yang mengira perkalian dua bilangan bersebelahan hasilnya acak antara ganjil atau genap; hal itu hanya terjadi jika bilangannya bercampur ganjil dan genap.
Namun, fokus kita sekarang adalah dua bilangan genap yang berurutan, seperti $(n - 1)$ dan $(n + 1)$. Bilangan genap selalu melompat dengan selang dua langkah: $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, \dots$
Karena bilangan genap bertambah $2$ di setiap langkahnya, kelipatan $4$ akan muncul bergantian pada setiap lompatan kedua:
Pasangan $2$ dan $4$: angka $4$ adalah kelipatan $4$.
Pasangan $4$ dan $6$: angka $4$ adalah kelipatan $4$.
Pasangan $6$ dan $8$: angka $8$ adalah kelipatan $4$.
Pasangan $10$ dan $12$: angka $12$ adalah kelipatan $4$.
Dengan demikian, dalam pasangan Dua Tetangga Genap $(n - 1)$ dan $(n + 1)$, salah satu bilangan pasti merupakan kelipatan $2$ biasa, sedangkan bilangan pasangannya dipastikan merupakan kelipatan $4$.
Tentukan kebenaran setiap pernyataan berikut mengenai dua bilangan genap yang saling berurutan:
- Kedua bilangan tersebut pasti bisa dibagi 2. — Benar
- Kedua bilangan tersebut pasti bisa dibagi 4. — Salah
- Hasil kali kedua bilangan tersebut pasti kelipatan 8. — Benar
Pernyataan 1 Benar karena semua bilangan genap menurut definisi habis dibagi 2. Pernyataan 2 Salah karena bilangan kelipatan 4 muncul berselang satu bilangan genap (hanya ada tepat satu kelipatan 4 di antara dua bilangan genap berurutan, misalnya pada pasangan 2 dan 4). Pernyataan 3 Benar karena perkalian antara kelipatan 2 dan kelipatan 4 dipastikan menghasilkan kelipatan 8 ($2 \times 4 = 8$).
Satu dari dua bilangan genap berurutan pasti merupakan kelipatan 4, dan hasil kalinya selalu kelipatan 8.