Peluang Undian Gacha: Kombinasi & Trik Komplemen

Membayangkan Ruang Sampel Undian

Saat mengambil 3 hadiah sekaligus secara acak, total kemungkinannya (ruang sampel) dihitung menggunakan rumus kombinasi.

Bayangkan sebuah kotak undian mirip mesin gacha yang berisi total 9 kapsul: 3 voucher Kipas Angin, 4 voucher Uang Tunai, dan 2 voucher Tiket Konser. Ketika panitia meminta peserta mengambil 3 kapsul sekaligus dalam satu kali tarikan, urutan keluarnya hadiah sama sekali tidak berpengaruh. Mengambil Kipas-Uang-Tiket hasilnya sama saja dengan Uang-Tiket-Kipas.

Karena urutan tidak penting, kita menggunakan aturan kombinasi untuk menghitung seluruh kemungkinan hasil tarikan yang bisa terjadi:

$$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}$$

Dengan $n = 9$ (total seluruh kapsul di dalam kotak) dan $r = 3$ (banyak kapsul yang ditarik):

$$\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$$

Angka 84 ini adalah total seluruh variasi kombinasi 3 hadiah yang mungkin muncul dari kotak tersebut. Nilai ini menjadi penyebut dasar untuk menghitung peluang apa pun dalam sesi undian ini.

Mengincar Hadiah Spesifik

Peluang mendapat kombinasi hadiah spesifik dihitung dari jumlah cara mendapatkannya dibagi total ruang sampel.

Untuk menghitung peluang suatu kejadian undian, kita cukup menghitung berapa banyak cara kombinasi yang kita inginkan bisa terjadi, lalu membaginya dengan total ruang sampel (84). Mari kita bedah dua skenario target berikut:

Target 1: Ketiganya adalah voucher Uang Tunai

Di dalam kotak hanya ada 4 voucher uang tunai, dan kita ingin ketiganya merupakan uang tunai. Banyak cara memilih 3 voucher dari 4 voucher yang ada adalah:

$$\binom{4}{3} = \frac{4!}{3! \times 1!} = 4 \text{ cara}$$

Maka, peluang kejadian ini adalah:

$$P(\text{3 uang tunai}) = \frac{4}{84} = \frac{1}{21}$$

Hasil ini membuktikan bahwa Opsi E benar. Sebaliknya, Opsi B salah karena menyebutkan angka $\dfrac{4}{21}$, yang terjadi akibat keliru menyederhanakan pecahan $\dfrac{4}{84}$.

Target 2: Mendapatkan tepat 2 voucher Kipas Angin

Karena kita mengambil total 3 voucher, jika kita mendapat 2 voucher kipas angin, maka 1 voucher sisanya wajib berasal dari voucher non-kipas angin (uang tunai atau tiket konser, total ada $4 + 2 = 6$ voucher).

Perhitungannya menggunakan prinsip perkalian:

• Memilih 2 dari 3 kipas angin: $\binom{3}{2} = 3$ cara.

• Memilih 1 dari 6 non-kipas angin: $\binom{6}{1} = 6$ cara.

Banyak cara kombinasinya adalah $3 \times 6 = 18$ cara. Peluangnya menjadi:

$$P(\text{2 kipas angin}) = \frac{18}{84} = \frac{3}{14}$$

Perhitungan ini membuktikan bahwa Opsi A benar.

Trik 'Sedikitnya Satu'

Peluang kejadian 'sedikitnya satu' jauh lebih mudah dicari dengan menghitung peluang komplemen (tidak dapat sama sekali) lalu dikurangkan dari angka 1.

Frasa "sedikitnya 1 tiket konser" dari total 3 tarikan berarti kita bisa memperoleh 1 tiket konser atau 2 tiket konser (karena total tiket konser hanya ada 2). Jika kita menghitung peluang masing-masing kasus lalu menjumlahkannya, langkahnya cukup panjang.

Di sinilah kita menggunakan trik komplemen. Kebalikan dari "dapat sedikitnya 1" adalah "tidak dapat tiket konser sama sekali" alias zonk:

$$P(\text{sedikitnya 1}) = 1 - P(\text{zonk})$$

Mari hitung peluang zonk terlebih dahulu. Tidak mendapatkan tiket konser sama sekali berarti ketiga voucher yang terambil berasal dari 7 voucher selain tiket konser (3 kipas angin + 4 uang tunai).

Banyak cara memilih 3 voucher dari 7 voucher non-tiket:

$$\binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \text{ cara}$$

Peluang kejadian zonk tersebut adalah:

$$P(\text{zonk}) = \frac{35}{84} = \frac{5}{12}$$

Karena $\dfrac{5}{12}$ adalah bagian yang tidak kita inginkan, kurangkan nilai tersebut dari total seluruh kepastian (angka 1):

$$P(\ge 1 \text{ tiket konser}) = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$$

Dengan demikian, Opsi D benar dan Opsi C salah.