Trik Aljabar Utuh: Mengolah Tanpa Membongkar
Menu Paketan Aljabar
Kita tidak perlu mencari nilai variabel secara individual jika kita bisa menemukan nilai dari Bentuk Utuh-nya.
Bayangkan kamu sedang memesan makanan di restoran cepat saji. Di daftar menu, terdapat paket kombo berisi 1 burger lezat dan 1 gelas minuman segar yang dijual bersamaan seharga Rp50.000. Jika kamu ingin mentraktir temanmu sehingga memesan tepat 2 paket kombo (2 burger dan 2 minuman), kamu bisa langsung tahu total tagihannya adalah Rp100.000. Kamu sama sekali tidak perlu memusingkan berapa harga sebutir burger saja atau berapa harga segelas minumannya secara terpisah.
Dalam aljabar, prinsip ini bekerja persis sama. Pada persamaan $\frac{p}{q} = 2 + \sqrt{3}$, variabel $p$ dan $q$ diibaratkan seperti burger dan minuman tersebut, sedangkan pecahan $\frac{p}{q}$ bertindak sebagai Bentuk Utuh atau 'menu paketan' yang nilainya sudah kita ketahui pasti.
Diketahui sebuah paket yang terdiri dari 1 meja dan 4 kursi harganya Rp500.000. Seseorang ingin membeli persis 2 meja dan 8 kursi. Berapa total harga yang harus dibayar?
- Rp500.000
- Rp1.000.000
- Rp2.000.000
- Tidak dapat ditentukan
Jawaban: Rp1.000.000
Bentuk 2 meja dan 8 kursi tepat merupakan 2 kali lipat dari paket utuh (1 meja + 4 kursi). Jadi harganya cukup 2 x Rp500.000 = Rp1.000.000, tanpa perlu tahu harga satuan masing-masing meja atau kursi. Opsi A salah karena mengabaikan pengali kuantitas. Opsi C salah karena mengalikan dengan jumlah kursi (4). Opsi D salah karena mengira harga satuan wajib dicari terlebih dahulu.
Menghitung nilai kelipatan dari suatu kelompok benda menggunakan prinsip bentuk utuh tanpa mencari harga satuannya.
Membersihkan Bentuk Akar
Bentuk akar dapat dihilangkan secara tuntas dengan mengisolasi akar tersebut di satu ruas sebelum mengkuadratkan persamaan.
Misalkan menu paketan kita, yaitu $\frac{p}{q}$, dinamai sebagai satu variabel tunggal $x$. Hubungan dari soal dapat dituliskan menjadi:
$$x = 2 + \sqrt{3}$$
Kalau kita langsung mengkuadratkan kedua ruas persamaan begitu saja:
$$x^2 = (2 + \sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$$
Bentuk akar $\sqrt{3}$ masih tetap menempel karena aturan perkalian binomial $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Strategi yang tepat adalah mengisolasi bentuk akar agar berdiri sendirian di satu sisi. Pindahkan bilangan bulat $2$ ke ruas kiri:
$$x - 2 = \sqrt{3}$$
Sekarang, kuadratkan kedua ruas persamaan tersebut:
$$(x - 2)^2 = (\sqrt{3})^2$$
$$x^2 - 4x + 4 = 3$$
Pindahkan angka $3$ ke ruas kiri untuk memperoleh Ekuivalensi baru:
$$x^2 - 4x + 1 = 0$$
Diberikan persamaan y = 5 + \sqrt{2}. Langkah pertama yang paling tepat untuk menghilangkan bentuk akar secara tuntas adalah...
- Memindahkan 5 ke ruas kiri menjadi y - 5 = \sqrt{2}, lalu mengkuadratkan kedua ruas
- Langsung mengkuadratkan kedua ruas menjadi y^2 = 25 + 2
- Langsung mengkuadratkan kedua ruas menjadi y^2 = 25 + 10\sqrt{2} + 2
- Memindahkan \sqrt{2} ke ruas kiri menjadi y - \sqrt{2} = 5, lalu mengkuadratkan kedua ruas
Jawaban: Memindahkan 5 ke ruas kiri menjadi y - 5 = \sqrt{2}, lalu mengkuadratkan kedua ruas
Mengisolasi suku akar di satu ruas (y - 5 = \sqrt{2}) membuat hasil kuadrat di ruas kanan menjadi (\sqrt{2})^2 = 2, sehingga bentuk akar lenyap tuntas. Opsi B salah karena melanggar aturan binomial (a+b)^2. Opsi C benar penjabarannya tapi akarnya tetap tertinggal. Opsi D salah karena memindahkan akar ke kiri tetap menyisakan suku akar saat dikuadratkan.
Mengisolasi bentuk akar sebelum mengkuadratkan persamaan untuk menghilangkan akar secara tuntas.
Substitusi Balik ke Target
Persamaan kuadrat yang sudah bersih dari akar dapat dikembalikan ke variabel aslinya untuk menyederhanakan ekspresi yang ditanya.
Dari langkah sebelumnya, kita memperoleh bentuk bersih $x^2 - 4x + 1 = 0$. Sekarang, lakukan Substitusi balik dengan mengembalikan $x = \frac{p}{q}$ ke dalam persamaan tersebut:
$$\left(\frac{p}{q}\right)^2 - 4\left(\frac{p}{q}\right) + 1 = 0$$
$$\frac{p^2}{q^2} - \frac{4p}{q} + 1 = 0$$
Karena pada premis soal telah dipastikan $q \neq 0$, kita bebas mengalikan seluruh suku di kedua ruas dengan $q^2$ untuk melenyapkan bentuk pecahan:
$$p^2 - 4pq + q^2 = 0$$
Persamaan di atas adalah hubungan fundamental antara variabel $p$ dan $q$. Berdasarkan penalaran aljabar pada pembahasan author, relasi ini membimbing kita untuk menyimpulkan bahwa nilai dari ekspresi $p^2 - 4pq + 4q^2$ adalah $0$ (Opsi A).