Aljabar Indeks Barisan Berkelompok

Indeks Lokal dan Global

Nomor kelompok tidak sama dengan total keseluruhan bilangan yang sudah ada sampai di kelompok tersebut.

Bayangkan kamu sedang memasuki sebuah bioskop berbentuk trapesium. Baris 1 hanya memiliki 1 kursi, Baris 2 memiliki 2 kursi, Baris 3 memiliki 3 kursi, dan seterusnya. Jika kamu duduk di kursi nomor 2 pada Baris 3, posisi itu adalah Indeks Lokal kamu (nomor urut kursi jika hanya dihitung di dalam baris tersebut). Namun, jika dihitung dari pintu masuk paling depan melintasi semua baris sebelumnya, nomor urut kumulatif kursimu jauh lebih besar. Nomor urut menyeluruh inilah yang disebut Indeks Global.

Pada diagram di atas, perhatikan pengelompokan bilangan genap:

• Kelompok 1 berisi $(2)$: memiliki $1$ elemen.

• Kelompok 2 berisi $(4, 6)$: memiliki $2$ elemen.

• Kelompok 3 berisi $(8, 10, 12)$: memiliki $3$ elemen.

Indeks Lokal selalu mengulang hitungan dari $1$ di setiap sekat kelompok baru. Sebaliknya, Indeks Global mencatat akumulasi seluruh bilangan tanpa memedulikan batas sekat: bilangan $8$ menempati indeks lokal $1$ di kelompok 3, tetapi secara global ia merupakan bilangan ke-$4$.

Secara aljabar, total bilangan hingga kelompok ke-$k$ diperoleh melalui Agregasi deret bilangan bulat berurutan:

$$S_k = 1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{k(k + 1)}{2}$$

Agregasi Sebelum Kelompok Target

Posisi awal kelompok ke-$n$ selalu didahului oleh jumlah elemen dari kelompok 1 hingga ke-$(n-1)$.

Ketika kita ingin mencari posisi elemen di kelompok ke-15, langkah pertamanya adalah menghitung berapa banyak bilangan yang sudah lewat sebelum kelompok ke-15 dimulai. Menggunakan analogi bioskop tadi, sebelum kita bisa memberi nomor pada kursi di Baris 15, kita harus tahu terlebih dahulu ada berapa total kursi di Baris 1 sampai Baris 14.

Proses Agregasi ini menjumlahkan ukuran kelompok secara berurutan:

$$S_{14} = 1 + 2 + 3 + \dots + 14$$

Dengan menggunakan rumus penjumlahan deret bilangan bulat positif berurutan:

$$S_{n-1} = \frac{(n-1) \cdot n}{2}$$

Untuk $n = 15$, kita peroleh:

$$S_{14} = \frac{14 \times 15}{2} = 105$$

Posisi Tengah Data Ganjil

Suku tengah dari sekumpulan $n$ data ganjil selalu berada pada urutan ke-$\frac{n+1}{2}$.

Sering kali muncul godaan untuk mencari posisi tengah dengan langsung membagi dua jumlah data: $\frac{n}{2}$. Pada data diskret berjumlah ganjil, langkah ini keliru. Jika suatu kelompok berisi $3$ elemen, menghitung $\frac{3}{2} = 1{,}5$ tidak menghasilkan nomor urut bulat apa pun, padahal elemen yang tepat berada di tengah jelas-jelas adalah elemen ke-$2$.

Komponen di atas memperlihatkan bagaimana titik tengah selalu berada di urutan bilangan bulat untuk sembarang banyaknya elemen ganjil $n$:

• Jika $n = 1$, posisi tengah adalah $\frac{1+1}{2} = 1$.

• Jika $n = 3$, posisi tengah adalah $\frac{3+1}{2} = 2$.

• Jika $n = 5$, posisi tengah adalah $\frac{5+1}{2} = 3$.

Dengan rumus posisi tengah lokal untuk data ganjil:

$$\text{Indeks Tengah Lokal} = \frac{n + 1}{2}$$

Pada kelompok ke-15 yang berisi $15$ bilangan genap, Indeks Lokal untuk suku tengahnya adalah:

$$\text{Indeks Tengah Lokal} = \frac{15 + 1}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

Artinya, suku tengah kelompok ke-15 adalah bilangan urutan ke-$8$ di dalam kelompok tersebut.