Aturan Mesin Baru: Simbol Operasi Biner
Mengenal Mesin Pabrik
Operasi biner buatan adalah mesin dengan instruksi khusus; kita harus menempatkan nilai sesuai urutan posisinya di dalam rumus. Simbol seperti bintang ($*$) pada soal ini bukan berarti perkalian biasa, melainkan label untuk sebuah aturan kalkulasi baru yang dibuat khusus.
Dalam matematika, operasi biner merupakan aturan yang menggabungkan dua nilai input untuk menghasilkan satu nilai output. Kita bisa membayangkan operasi $x*y = x(y+1) - y$ layaknya sebuah mesin pabrik:
$x$ adalah bahan pertama yang masuk di depan tanda bintang.
$y$ adalah bahan kedua yang masuk di belakang tanda bintang.
Rumus $x(y+1) - y$ adalah instruksi pengolahan: bahan pertama dikalikan dengan (bahan kedua ditambah 1), lalu hasilnya dikurangi bahan kedua.
Untuk menguji Opsi A ($3*5 = 13$), kita lakukan proses substitusi: masukkan angka $3$ sebagai bahan pertama ($x$) dan angka $5$ sebagai bahan kedua ($y$):
$$\begin{aligned} 3*5 &= 3(5+1) - 5 \\ &= 3(6) - 5 \\ &= 18 - 5 \\ &= 13 \end{aligned}$$
Karena hasil perhitungan tepat bernilai $13$, maka Opsi A benar.
Apakah Posisinya Bisa Dibalik?
Operasi biner baru tidak selalu bersifat komutatif; jika urutan angkanya dibalik dan memberikan hasil yang berbeda, maka sifat komutatif tidak berlaku. Pada perkalian atau penjumlahan dasar, urutan angka tidak mengubah hasil akhir (misalnya $3 \times 5 = 5 \times 3 = 15$). Namun, aturan khusus pada mesin baru ini memberikan perlakuan yang tidak seimbang pada input depan dan belakang.
Pada rumus $x(y+1) - y$, bahan depan ($x$) bertindak murni sebagai pengali. Sebaliknya, bahan belakang ($y$) ditambah $1$ di dalam kurung dan kemudian menjadi pengurang di akhir. Perlakuan yang berbeda ini membuat urutan input sangat menentukan hasil olahan.
Sekarang, mari kita uji Opsi C dengan memasukkan angka yang posisinya dibalik, yaitu $5*3$:
$$\begin{aligned} 5*3 &= 5(3+1) - 3 \\ &= 5(4) - 3 \\ &= 20 - 3 \\ &= 17 \end{aligned}$$
Hasil perhitungan $5*3$ adalah $17$, sehingga Opsi C benar.
Perhatikan perbandingannya: $3*5 = 13$, sedangkan $5*3 = 17$. Karena $13 \neq 17$, menukar urutan nilai menghasilkan luaran yang berbeda. Suatu operasi dikatakan memenuhi sifat komutatif hanya jika $x*y = y*x$ berlaku untuk setiap pasangan angka. Satu contoh berlawanan saja sudah cukup untuk menggugurkan sifat ini, sehingga pernyataan pada Opsi B salah.
Diberikan operasi matematika baru yang didefinisikan sebagai $p\#q = p - 2q$. Manakah pembuktian yang paling tepat bahwa operasi '#' tidak bersifat komutatif?
- Menghitung 4#1 = 2 dan 1#4 = -7, sehingga hasilnya terbukti berbeda.
- Memperhatikan bahwa operasi memuat tanda kurang yang tidak pernah komutatif.
- Mengamati bahwa variabel q dikalikan 2 sedangkan variabel p tidak dikalikan.
- Menunjukkan bahwa perhitungan 4#1 = 2 tidak sama dengan nilai p#q secara umum.
Jawaban: Menghitung 4#1 = 2 dan 1#4 = -7, sehingga hasilnya terbukti berbeda.
Sifat komutatif menuntut bahwa p#q = q#p berlaku untuk semua nilai. Untuk membuktikan sifat tersebut tidak berlaku, cukup tunjukkan satu contoh penyangkal (counterexample): 4#1 = 4 - 2(1) = 2, sedangkan 1#4 = 1 - 2(4) = -7. Karena hasilnya berbeda, operasi terbukti tidak komutatif. Alasan pada opsi lain hanya mengamati bentuk ekspresi tanpa membuktikan kegagalan kesamaan nilainya.
Satu contoh numerik yang memberikan hasil berbeda sudah cukup untuk menggugurkan sifat komutatif.
Membuktikan Sifat Lewat Aljabar
Membuktikan ketidaksesuaian sifat komutatif secara universal dilakukan dengan membandingkan bentuk aljabar antar kedua variasi. Selain memakai sepasang angka acak seperti di halaman sebelumnya, kita juga bisa memeriksa rumus umumnya secara langsung menggunakan variabel.
Mari kita bandingkan bentuk aljabar dari $x*y$ dan $y*x$:
Posisi normal ($x*y$):
$$x*y = x(y+1) - y = xy + x - y$$
Posisi ditukar ($y*x$):
$$y*x = y(x+1) - x = yx + y - x = xy + y - x$$
Kedua ekspresi sama-sama memiliki suku $xy$. Namun, suku sisanya berbeda: bentuk pertama memuat $(x - y)$, sedangkan bentuk kedua memuat $(y - x)$. Karena $(x - y) \neq (y - x)$ untuk nilai $x$ dan $y$ yang tidak sama, kedua ekspresi tidak identik secara aljabar. Hal ini kembali mempertegas bahwa operasi ini tidak komutatif, sehingga Opsi B salah.