Kuartil Data Kelompok: Logika Antrean
Apa Itu Kuartil Pertama?
Kuartil pertama adalah batas yang membagi seperempat data terbawah dari keseluruhan data yang sudah diurutkan.
Bayangkan ada $80$ pelanggan pria yang sedang berbaris rapi di sebuah gerai pakaian. Barisan ini diurutkan mulai dari pelanggan dengan ukuran lingkar pinggang paling kecil hingga yang paling besar.
Kuartil pada dasarnya bertugas membagi barisan antrean ini menjadi empat kelompok dengan jumlah orang yang persis sama. Karena kelompok pertama mewakili seperempat bagian terbawah, batas akhir dari kelompok ini disebut kuartil pertama ($Q_1$).
Dengan total $80$ pelanggan, posisi kuartil pertama dapat dihitung dengan mengambil seperempat dari total antrean:
$$\frac{1}{4} \times 80 = 20$$
Artinya, kuartil pertama terletak tepat pada orang ke-$20$. Tugas utama kita hanyalah satu: mencari tahu berapa perkiraan ukuran lingkar pinggang yang dimiliki oleh orang ke-$20$ tersebut.
Jika ada 120 siswa berbaris dari yang terpendek hingga tertinggi, siswa pada urutan ke berapakah yang menjadi batas kuartil pertama?
- Siswa ke-30
- Siswa ke-40
- Siswa ke-60
- Siswa ke-90
Jawaban: Siswa ke-30
Kuartil pertama ($Q_1$) diperoleh dari $\frac{1}{4}$ kali total data: $\frac{1}{4} \times 120 = 30$. Opsi C keliru karena urutan ke-60 adalah median ($\frac{1}{2}$ data), Opsi B keliru karena membagi data menjadi 3 bagian, dan Opsi D adalah kuartil ketiga ($\frac{3}{4}$ data).
Kuartil pertama membagi data menjadi seperempat bagian terbawah.
Membedakan Fk dan f
Frekuensi kumulatif ($F_k$) adalah jumlah data sebelum kelas target, sedangkan frekuensi kelas ($f$) adalah jumlah data di dalam kelas target itu sendiri.
Setelah mengetahui target kita adalah orang ke-$20$, langkah berikutnya adalah mencari di mana orang tersebut berdiri. Pada data berkelompok, data tersimpan dalam bentuk rentang atau "rak ukuran".
Di dalam soal, diketahui frekuensi kumulatif sebelum kelas ($F_k$) bernilai $14$. Artinya, pada rak-rak ukuran lingkar pinggang sebelumnya, sudah ada $14$ orang yang mengantre dan terlewati.
Karena target kita adalah orang ke-$20$ dan $14$ orang sudah lewat di depan, posisi target kita di dalam rak ukuran yang sedang kita tinjau adalah:
$$20 - 14 = 6$$
Target kita adalah orang ke-$6$ di rak tersebut. Pada rak ini, terdapat $12$ orang yang sedang berdiri bersama. Jumlah total orang di rak target inilah yang dinamakan frekuensi kelas kuartil ($f$).
Dalam mencari kuartil, diketahui target adalah data ke-40. Frekuensi kumulatif sebelum kelas adalah 30, dan frekuensi kelas tersebut adalah 20. Tentukan apakah pernyataan berikut benar atau salah!
- Target berada pada urutan ke-10 di dalam kelas tersebut. — Benar
- Ada 20 data yang sudah lewat sebelum mencapai kelas target. — Salah
Target data ke-40 dikurangi frekuensi kumulatif sebelum kelas (30) menghasilkan urutan ke-10 di dalam kelas tersebut (pernyataan 1 Benar). Data yang sudah lewat ditunjukkan oleh frekuensi kumulatif ($F_k = 30$), bukan frekuensi kelas ($f = 20$) (pernyataan 2 Salah).
Frekuensi kumulatif adalah data sebelum kelas, frekuensi kelas adalah data di dalam kelas.
Logika Interpolasi: Menebak Posisi Pasti
Posisi nilai di dalam suatu kelas dihitung secara proporsional berdasarkan urutannya di dalam kelas tersebut.
Kita telah mengetahui bahwa target kita adalah orang ke-$6$ dari total $12$ orang di rak tersebut. Namun, kita belum tahu angka pasti lingkar pinggangnya karena data disajikan dalam kelompok interval. Di sinilah metode interpolasi digunakan.
Rak baju target ini memiliki panjang interval kelas ($p$) sebesar $5\text{ cm}$. Artinya, seluruh $12$ orang di rak ini tersebar merata sepanjang rentang $5\text{ cm}$ tersebut. Jika $12$ orang berbaris teratur dari ujung awal hingga akhir rak, di manakah posisi orang ke-$6$?
Orang ke-$6$ berada tepat di tengah-tengah kelompok:
$$\frac{6}{12} = 0{,}5$$
Karena ia berada di posisi setengah perjalanan ($0{,}5$), maka nilai lingkar pinggangnya juga bertambah sebesar setengah dari total rentang $5\text{ cm}$ yang tersedia:
$$0{,}5 \times 5 = 2{,}5\text{ cm}$$
Inilah rahasia di balik rumus kuartil yang sering dihafalkan: rumus tersebut sebenarnya hanya menghitung fraksi posisi di dalam kelas lalu mengalikannya dengan panjang rentang.