Vektor 3D: Cross Product & Sudut

Mengenal Cross Product

Perkalian silang (cross product) dari dua vektor 3D menghasilkan sebuah vektor baru yang selalu tegak lurus terhadap kedua vektor asalnya.

Berbeda dengan perkalian titik (dot product) yang menghasilkan sebuah angka skalar biasa, hasil dari operasi $\vec{u} \times \vec{v}$ adalah sebuah vektor utuh lengkap dengan nilai dan arah di ruang 3D.

Vektor hasil cetak ini posisinya berdiri tegak lurus terhadap bidang lantai tempat vektor $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ berbaring. Bayangkan proses ini seperti prosedur di pabrik: vektor $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ adalah bahan baku di atas meja, lalu diproses melalui sebuah alat bernama determinan matriks $3 \times 3$ untuk menghasilkan tiang tegak lurus yang memiliki komponen $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, dan $\mathbf{k}$.

Langkah Menghitung Cross Product

Menghitung cross product menggunakan determinan matriks $3 \times 3$ menuntut ketelitian pada pola tanda plus-minus antar komponen.

Untuk memproses bahan baku vektor $\vec{u} = (2, 1, -2)$ dan $\vec{v} = (4, -3, 1)$ pada mesin cetak determinan, susun matriks $3 \times 3$: baris teratas diisi vektor satuan $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$, baris kedua diisi koordinat $\vec{u}$, dan baris ketiga diisi koordinat $\vec{v}$.

$$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 4 & -3 & 1 \end{vmatrix}$$

Skema ekspansi kofaktor determinan matriks 3x3 untuk menghitung cross product u x v.

Kita pecah determinan besar tersebut menggunakan ekspansi baris pertama dengan pola tanda bergantian: $+\mathbf{i}, -\mathbf{j}, +\mathbf{k}$.

  1. Komponen $\mathbf{i}$: Tutup baris 1 dan kolom 1$+\mathbf{i} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((1)(1) - (-2)(-3)) = \mathbf{i}(1 - 6) = -5\mathbf{i}$

  2. Komponen $\mathbf{j}$: Tutup baris 1 dan kolom 2 (perhatikan tanda minus di depan)$-\mathbf{j} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = -\mathbf{j}((2)(1) - (-2)(4)) = -\mathbf{j}(2 - (-8)) = -\mathbf{j}(10) = -10\mathbf{j}$

  3. Komponen $\mathbf{k}$: Tutup baris 1 dan kolom 3$+\mathbf{k} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = \mathbf{k}((2)(-3) - (1)(4)) = \mathbf{k}(-6 - 4) = -10\mathbf{k}$

Gabungan ketiganya menghasilkan vektor $(-5, -10, -10)$. Dengan demikian, pernyataan pada Opsi A terbukti BENAR.

Diberikan vektor $\vec{p} = (1, 0, 2)$ dan $\vec{q} = (0, 3, 1)$. Berapakah hasil dari perkalian silang $\vec{p} \times \vec{q}$?

  • (-6, -1, 3)
  • (-6, 1, 3)
  • (6, -1, 3)
  • (0, 0, 2)

Jawaban: (-6, -1, 3)

Gunakan ekspansi determinan: komponen i = (0)(1) - (2)(3) = -6; komponen j = -((1)(1) - (2)(0)) = -1; komponen k = (1)(3) - (0)(0) = 3. Jadi hasil cross product adalah (-6, -1, 3). Opsi B salah tanda pada j, Opsi C salah tanda pada i, dan Opsi D keliru memperlakukan operasi ini seperti dot product.

Menghitung cross product vektor sederhana menggunakan aturan tanda determinan.

Cek Vektor Sebidang (Koplanar)

Tiga vektor dikatakan sebidang (koplanar) jika hasil kali titik (dot product) antara vektor ketiga dengan hasil cross product dua vektor lainnya bernilai nol.

Secara geometri, vektor-vektor disebut koplanar apabila semuanya berbaring rata di atas satu lembaran bidang datar yang sama, tanpa ada satu pun yang mencuat keluar dari lembaran tersebut.

Ilustrasi tiga panah yang terletak di atas satu papan datar dan satu panah lain menembus keluar ke atas.

Karena hasil perkalian silang $\vec{u} \times \vec{v}$ menghasilkan tiang yang tegak lurus terhadap bidang lantai $\vec{u}$ dan $\vec{v}$, maka vektor lain $\vec{c}$ hanya bisa sebidang dengan lantai jika $\vec{c}$ membentuk sudut siku-siku ($90^\circ$) terhadap tiang tersebut. Secara matematis, syarat dua vektor saling tegak lurus adalah dot product-nya bernilai nol:

$$\vec{c} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = 0$$

Kita uji vektor $\vec{c} = (1, 4, 3)$ dari soal dengan produk vektor baru $\vec{u} \times \vec{v} = (-5, -10, -10)$ yang sudah kita dapatkan:

$$\vec{c} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (1)(-5) + (4)(-10) + (3)(-10)$$

$$\vec{c} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = -5 - 40 - 30 = -75$$

Karena hasilnya bernilai $-75$ (bukan $0$), vektor $\vec{c}$ mencuat keluar bidang dan tidak sebidang dengan $\vec{u}$ dan $\vec{v}$. Oleh karena itu, pernyataan pada Opsi B terbukti SALAH. Sebagian siswa terkadang keliru memilih opsi ini karena menganggap sembarang vektor 3 dimensi otomatis berada di bidang yang sama.