Komposisi Fungsi & Eksekusi Aljabar

Membongkar Sandi Bundaran (f o g)

Sering lihat simbol $(f \circ g)(x)$ dan bingung harus ngapain? Wajar kalau kamu sempat menebak-nebak dan mengira ini adalah operasi perkalian atau penjumlahan biasa. Padahal, simbol bundaran ($\circ$) punya makna khusus yang sangat simpel.

Notasi $(f \circ g)(x)$ sebenarnya cuma cara formal matematika untuk menulis $f(g(x))$.

Simbol ini bukan tanda kali ($ \times $), melainkan instruksi pasti: "Masukkan fungsi yang ada di kanan secara UTUH ke dalam fungsi yang ada di kiri." Bayangkan fungsi sebagai sebuah mesin pabrik. Input $x$ masuk ke mesin $g(x)$ terlebih dahulu. Setelah selesai diproses, seluruh hasil dari mesin $g(x)$ tadi ditelan mentah-mentah oleh mesin $f(x)$ sebagai bahan baku barunya.

Ingat lagi prinsip dasar saat kamu belajar fungsi. Kalau ada $f(x) = 2x - 3$, huruf $x$ di sana cuma "kotak kosong" alias placeholder. Jadi, $f(\text{kotak}) = 2(\text{kotak}) - 3$.

Bedanya di komposisi fungsi ini, si 'kotak' tidak diisi oleh satu angka tunggal, melainkan diisi penuh oleh sebuah fungsi lain secara utuh, yaitu fungsi $g(x)$.

Manakah dari pernyataan berikut yang paling tepat menggambarkan makna dari notasi $(f \circ g)(x)$?

  • A. Mengalikan fungsi f(x) dengan fungsi g(x)
  • B. Memasukkan fungsi f(x) ke dalam variabel x pada fungsi g(x)
  • C. Memasukkan fungsi g(x) secara utuh sebagai pengganti variabel x pada fungsi f(x)
  • D. Menjumlahkan fungsi f(x) dan g(x)

Jawaban: C. Memasukkan fungsi g(x) secara utuh sebagai pengganti variabel x pada fungsi f(x)

Simbol bundaran (o) berarti 'komposisi'. (f o g)(x) sama dengan f(g(x)), artinya fungsi g(x) yang berada di dalam menjadi input (pengganti x) untuk fungsi f yang ada di luar.

Notasi komposisi (f o g)(x) adalah instruksi untuk memasukkan fungsi g secara utuh ke dalam variabel fungsi f.

Substitusi: Mengisi Si Kotak

Sekarang kita coba terapkan prinsip "kotak" tadi ke dalam soal.

Kita tahu:

Kunci dari fungsi komposisi adalah kerangka luar dari fungsi $f$ harus tetap sama persis. Jangan merusak angka $2$ atau $-3$-nya. Kita hanya membuang huruf $x$-nya dan menggantinya dengan ekspresi utuh $g(x)$.

Hasil sementaranya adalah: $2\left(\frac{x+1}{2x-1}\right) - 3$

Jika diketahui $f(x) = x^2 - 1$ dan $g(x) = x+3$, bagaimanakah bentuk awal substitusi yang benar untuk $(f \circ g)(x)$ sebelum dihitung lebih lanjut?

  • A. $x^2 - 1 + x + 3$
  • B. $(x+3)^2 - 1$
  • C. $(x^2 - 1)(x+3)$
  • D. $x^2 + 3 - 1$

Jawaban: B. $(x+3)^2 - 1$

Fungsi luar f(x) = x^2 - 1 memiliki kerangka (kotak)^2 - 1. Saat digabung menjadi f(g(x)), kita ganti (kotak) tersebut dengan ekspresi g(x) secara utuh, sehingga menjadi (x+3)^2 - 1.

Substitusi fungsi mempertahankan kerangka fungsi luar dan hanya mengganti variabel x-nya dengan fungsi dalam.

Aljabar Check: Angka Dikali Pecahan

Kamu sempat ragu, "Angka $2$ di depan kurung ini harus dikali ke pembilang (atas) saja, atau penyebut (bawah) juga ikut dikali?" Ini keraguan yang sangat wajar.

Mari kita bongkar konsepnya. Sebuah bilangan bulat seperti angka $2$, pada dasarnya adalah pecahan yang penyebutnya $1$. Jadi, $2 = \frac{2}{1}$.

Ingat aturan perkalian pecahan: atas kali atas, bawah kali bawah.

Jadi, saat kamu mengalikan angka $2$ dengan pecahan fungsi $g(x)$, ini yang terjadi: $\frac{2}{1} \times \frac{x+1}{2x-1} = \frac{2 \times (x+1)}{1 \times (2x-1)}$

Artinya, HANYA bagian pembilang (atas) yang ikut dikalikan dengan $2$. Hasilnya menjadi: $\frac{2x+2}{2x-1}$

Tentukan benar atau salah pernyataan terkait perkalian aljabar berikut!

  • Saat mengalikan bilangan bulat $5$ dengan pecahan $\frac{a}{b}$, hasilnya adalah $\frac{5a}{5b}$. — Salah
  • Saat mengalikan bilangan bulat $5$ dengan pecahan $\frac{a}{b}$, hasilnya adalah $\frac{5a}{b}$. — Benar

Bilangan bulat 5 sama dengan 5/1. Saat dikalikan dengan a/b, hanya pembilang yang dikalikan 5 (jadi 5a/b). Kalau penyebutnya ikut dikali 5, itu sama saja mengalikan dengan 5/5 alias 1, nilainya tidak berubah!

Bilangan bulat mengalikan HANYA bagian pembilang (atas) dari sebuah pecahan.