Dekomposisi Fungsi & Jalan Pintas Invers
Membedah Simbol: Pabrik Dua Tahap
Pernah kepikiran nggak, kenapa fungsi komposisi ditulis pakai simbol bundar kecil $\circ$? Simbol ini bukan sekadar pajangan, tapi sebuah instruksi berurutan.
Bentuk $(g \circ f)(x)$ sering dibaca "g bundaran f". Tapi makna aslinya lebih enak dibaca dari dalam ke luar: "Jadikan hasil dari fungsi $f$ sebagai bahan baku untuk fungsi $g$". Kalau ditulis ulang jadi $g(f(x))$, kelihatan jelas kan kalau $f(x)$ itu ada di dalam perut si $g$?
Bayangkan fungsi sebagai mesin di sebuah pabrik:
Bahan mentah $x$ masuk ke Mesin Pertama ($f$), dan keluar menjadi adonan $f(x)$.
Adonan itu nggak dibuang, tapi langsung masuk ke Mesin Kedua ($g$), yang mengolahnya jadi produk akhir $g(f(x))$.
Dari soal, kita tahu:
Mesin $f$ mengubah bahan bakunya dengan aturan: $f(x) = x - 2$.
Hasil akhir dari pabrik setelah melewati kedua mesin adalah $3x - 5$.
Masalahnya: kita belum tahu bentuk asli Mesin $g$ itu seperti apa. Kita cuma tahu kalau Mesin $g$ disuapi adonan $(x - 2)$, dia akan menghasilkan $3x - 5$.
Terus gimana cara nebak bentuk mesin $g$ kalau bahan yang masuk bukan $x$ murni, tapi $(x - 2)$? Kita bedah di halaman berikutnya!
Apa makna operasional dari notasi (g o f)(x)?
- A. Fungsi g dan fungsi f dikalikan
- B. Fungsi g bekerja lebih dulu pada x, hasilnya dimasukkan ke f
- C. Fungsi f bekerja lebih dulu pada x, hasilnya dimasukkan ke g
- D. Input x dijumlahkan dengan f lalu dimasukkan ke g
Jawaban: C. Fungsi f bekerja lebih dulu pada x, hasilnya dimasukkan ke g
(g o f)(x) ekuivalen dengan g(f(x)). Karena f(x) ada di dalam tanda kurung fungsi g, maka f(x) dievaluasi/bekerja lebih dulu.
Simbol komposisi (h o k)(x) berarti fungsi k bekerja lebih dulu pada input x, lalu hasilnya menjadi input untuk fungsi h.
Jebakan Substitusi: Mencari Mesin 'g'
Dari halaman sebelumnya, kita tahu bahwa $g(x - 2) = 3x - 5$. Tugas kita adalah mencari rumus murni untuk $g(x)$.
Di sinilah banyak banget yang kena jebakan batman!
Kenapa salah? Karena $x$ di ruas kiri dan ruas kanan itu saling terikat (sinkron). Kalau kamu mengubah bentuk di dalam kurung $g(...) menjadi $x$ murni, kamu harus mereka ulang (merekayasa balik) apa yang terjadi pada sisi kanannya secara matematis, bukan sekadar "tempel" teks.
Cara amannya adalah menggunakan "variabel boneka" (dummy variable). Ini seperti memberi nama samaran pada adonan tadi:
Berikut alur resep masaknya:
Misalkan inputnya: Kita anggap input mesin $g$ adalah $u$. Jadi, $u = x - 2$.
Cari x: Supaya ruas kanan bisa kita ubah jadi $u$ juga, kita harus tahu $x$ itu sama dengan apa. Pindah ruas $u = x - 2$ menjadi $x = u + 2$.
Substitusi balik: Sekarang ganti semua $x$ di persamaan awal dengan $(u + 2)$. $g(u) = 3(u + 2) - 5$ $g(u) = 3u + 6 - 5$ $g(u) = 3u + 1$
Taraa! Sekarang kita sudah dapat aturan murni dari mesin $g$, yaitu mengalikan inputnya dengan 3, lalu ditambah 1. Jadi, bisa kita tulis dalam bentuk umum: $g(x) = 3x + 1$.
Jika diketahui g(x + 3) = 2x + 4, tentukan pernyataan yang Benar atau Salah terkait cara mencari g(x).
- Fungsi murni g(x) adalah 2(x+3) + 4 = 2x + 10 — Salah
- Kita bisa memisalkan u = x + 3, sehingga x = u - 3 — Benar
- Fungsi murni g(x) adalah 2(x-3) + 4 = 2x - 2 — Benar
Langsung mengganti x di kanan dengan (x+3) adalah salah. Yang benar: misalkan u = x+3, maka x = u-3. Lalu g(u) = 2(u-3) + 4 = 2u - 2, sehingga g(x) = 2x - 2.
Pencarian fungsi awal dari bentuk komposisi membutuhkan penggunaan variabel dummy (substitusi terbalik) untuk menjaga keseimbangan ruas kiri dan kanan, bukan sekadar mengganti teks variabel.
Merakit Ulang Pabrik: `$(f \circ g)(x)$`
Merakit Ulang Pabrik: $(f \circ g)(x)$
Oke, dari penyelidikan kita tadi, sekarang kita udah punya cetak biru lengkap kedua mesin:
$f(x) = x - 2$ (Mesin pengurang 2)
$g(x) = 3x + 1$ (Mesin pengali 3 lalu tambah 1)
Tapi tunggu dulu, soalnya nanyain tentang $(f \circ g)^{-1}$. Perhatikan arah komposisinya berubah! Tadi yang kita punya $(g \circ f)$, sekarang yang ditanya dibentuk dari $(f \circ g)$.
Simbol $(f \circ g)(x)$ berarti $f(g(x))$. Sekarang, mesin $g$ yang kerja duluan. Hasil dari mesin $g$ akan jadi bahan baku buat mesin $f$.
Mari kita rakit ulang pabrik barunya:
Bahan baku $x$ masuk ke mesin $g$, jadinya $g(x) = 3x + 1$.
Paket utuh $(3x + 1)$ ini kita lempar masuk ke mesin $f$.
Ingat aturan mesin $f$? Apapun yang masuk, tinggal dikurangi 2. $f(g(x)) = f(3x + 1)$ $f(g(x)) = (3x + 1) - 2$ $(f \circ g)(x) = 3x - 1$
Inilah mesin gabungan kita yang baru: $(f \circ g)(x) = 3x - 1$. Sekarang kita siap buat nyari inversnya!