Barisan Aritmetika: Menelusuri Beda yang Tersembunyi

Menghitung Anak Tangga

Beda pada barisan aritmetika adalah selisih antara dua suku yang letaknya persis bersebelahan.

Bayangkan deretan bilangan seperti susunan anak tangga. Ketinggian tiap pijakan selalu bertambah secara konstan. Kenaikan satu langkah dari satu anak tangga ke anak tangga berikutnya yang tepat di atasnya disebut beda ($b$). Artinya, jarak dari suku pertama ($U_1$) ke suku kedua ($U_2$) bernilai $1b$, begitu juga jarak dari suku kedua ($U_2$) ke suku ketiga ($U_3$) bernilai $1b$.

Jika kamu melompat langsung dari anak tangga pertama ($U_1$) ke anak tangga ketiga ($U_3$), kamu sebenarnya melompati dua pijakan sekaligus, sehingga jaraknya bernilai dua kali beda ($2b$).

Membuat Persamaan Kesetimbangan

Kita dapat mencari nilai suku yang tidak diketahui dengan menyamakan beda dari dua pasang suku berurutan.

Pada barisan $a,\ 10,\ a + 5,\ b$, kita memiliki tiga suku berurutan di awal, yaitu:

• Suku pertama: $U_1 = a$

• Suku kedua: $U_2 = 10$

• Suku ketiga: $U_3 = a + 5$

Karena tinggi tiap pijakan anak tangga selalu sama, maka selisih kenaikan pada langkah pertama harus setara dengan langkah kedua:

$$U_2 - U_1 = U_3 - U_2$$

Substitusikan suku-suku yang bersesuaian ke dalam persamaan tersebut:

$$10 - a = (a + 5) - 10$$

Sederhanakan terlebih dahulu bagian ruas kanan:

$$10 - a = a - 5$$

Pindahkan variabel ke satu sisi dan konstanta ke sisi lain secara cermat:

$$10 + 5 = a + a$$

$$15 = 2a$$

$$a = \frac{15}{2} = 7.5$$

Nilai $a = 7.5$ adalah jawaban yang tepat (Opsi B).

Buktikan Temuanmu

Mensubstitusikan nilai yang ditemukan ke dalam barisan awal akan membuktikan apakah jawaban sudah tepat dan mencegah kita memilih hasil nilai suku yang lain.

Mari masukkan kembali nilai $a = 7.5$ ke susunan tiga suku awal pada barisan:

• Suku pertama: $U_1 = a = 7.5$

• Suku kedua: $U_2 = 10$

• Suku ketiga: $U_3 = a + 5 = 7.5 + 5 = 12.5$

Sekarang periksa kenaikan tiap anak tangga:

• Selisih langkah pertama: $U_2 - U_1 = 10 - 7.5 = 2.5$

• Selisih langkah kedua: $U_3 - U_2 = 12.5 - 10 = 2.5$

Kedua selisih bernilai persis sama, yaitu $b = 2.5$. Ini membuktikan bahwa nilai $a = 7.5$ sudah sepenuhnya benar!