Membongkar Statistik Variabel Tersembunyi

Membongkar Variabel Tersembunyi

Syarat tanpa modus pada sekumpulan data memaksa setiap nilai yang ada untuk memiliki frekuensi kemunculan yang persis sama. Modus adalah nilai yang paling sering muncul dalam sekumpulan data, sedangkan frekuensi menyatakan banyaknya kemunculan suatu nilai. Bayangkan data ini seperti jejeran kelompok kelereng berlabel angka yang sudah diurutkan dari kecil ke besar:

$$6c,\, 3,\, 3,\, 5,\, 5,\, 5,\, 2a,\, 8,\, 8,\, 3b,\, 9,\, 9$$

Karena data tidak memiliki modus, tidak boleh ada satu pun kelompok label kelereng yang mendominasi kelompok lainnya. Perhatikan bahwa angka $5$ sudah tertulis jelas sebanyak $3$ kelereng. Agar adil dan seimbang tanpa modus, setiap kelompok angka lain—yaitu kelompok $3$, kelompok $8$, dan kelompok $9$—wajib memiliki frekuensi yang sama persis, yaitu masing-masing tepat $3$ kelereng!

Dengan menuntut kesetaraan frekuensi ini, kita bisa membongkar variabel yang tersembunyi di dalam barisan:

1. Kelompok angka $3$ baru tampak $2$ kelereng, sehingga kelereng pertama $6c$ harus bernilai $3$. Kita peroleh $6c = 3 \implies c = 0,5$.

2. Kelompok angka $8$ baru tampak $2$ kelereng, sehingga kelereng di depannya yaitu $2a$ harus bernilai $8$. Kita peroleh $2a = 8 \implies a = 4$.

3. Kelompok angka $9$ baru tampak $2$ kelereng, sehingga kelereng $3b$ harus bernilai $9$. Kita peroleh $3b = 9 \implies b = 3$.

Menguji Pernyataan 1 dan 2

Setelah variabel berubah jadi angka, menghitung rata-rata dan median dilakukan seperti pada barisan data biasa. Berdasarkan nilai $a = 4$, $b = 3$, dan $c = 0,5$ yang baru kita temukan, kini seluruh deretan $12$ kelereng telah terbuka utuh dan terurut rapi:

$$3,\, 3,\, 3,\, 5,\, 5,\, 5,\, 8,\, 8,\, 8,\, 9,\, 9,\, 9$$

Mari kita uji Pernyataan (1) yang menyatakan bahwa rata-rata nilai $a, b, c$ adalah $3$. Rata-rata (Mean) adalah jumlah semua nilai dibagi banyaknya data:

$$\text{Rata-rata } a, b, c = \frac{a + b + c}{3} = \frac{4 + 3 + 0,5}{3} = \frac{7,5}{3} = 2,5$$

Karena hasilnya $2,5 \ne 3$, maka Pernyataan (1) Salah.

Sekarang perhatikan ilustrasi pembagian data di atas untuk menguji Pernyataan (2) tentang median. Karena total kelereng berjumlah genap ($12$ buah), posisi tengah data tidak jatuh pada satu kelereng tunggal, melainkan berada persis di antara data ke-$6$ dan data ke-$7$:

• Data ke-$6$ bernilai $5$

• Data ke-$7$ bernilai $8$

$$\text{Median} = \frac{5 + 8}{2} = \frac{13}{2} = 6,5$$

Pernyataan (2) mengklaim bahwa median sama dengan $2b$. Karena $b = 3$, maka $2b = 2(3) = 6$. Nilai $6,5 \ne 6$, sehingga Pernyataan (2) juga Salah.

Efek Perkalian pada Rata-rata

Jika setiap nilai dalam kelompok dikalikan angka yang sama, rata-rata kelompok akan ikut terkalikan dengan angka tersebut. Bayangkan ilustrasi sederhana: jika kita punya $3$ kelereng yang masing-masing berlabel $2$, rata-ratanya tentu $2$. Jika setiap kelereng kita gandakan labelnya menjadi $4$, maka total nilainya naik dua kali lipat, dan rata-ratanya mutlak ikut bergeser naik menjadi $4$.

Konsep transformasi linear ini langsung menjawab Pernyataan (3): apabila tiap data dikali $2$, jumlah total seluruh data menjadi dua kali lipat dari semula, sedangkan banyak datanya tetap sama ($12$). Akibatnya, nilai rata-rata baru otomatis menjadi $2$ kalinya rata-rata awal tanpa perlu kita hitung ulang satu per satu. Dengan demikian, Pernyataan (3) Benar.

Sekarang kita tentukan nilai rata-rata awal ($d$) untuk menguji Pernyataan (4). Total nilai ke-$12$ data adalah $(3 \times 3) + (3 \times 5) + (3 \times 8) + (3 \times 9) = 9 + 15 + 24 + 27 = 75$. Maka:

$$d = \frac{75}{12} = 6,25$$

Substitusikan nilai $a = 4$, $b = 3$, $c = 0,5$, dan $d = 6,25$ ke dalam persamaan Pernyataan (4):

$$\frac{4a - b}{c + 2d} = \frac{4(4) - 3}{0,5 + 2(6,25)} = \frac{16 - 3}{0,5 + 12,5} = \frac{13}{13} = 1$$

Pernyataan (4) terbukti tepat bernilai $1$, sehingga Pernyataan (4) Benar.