Trik Menjumlahkan Pola Bilangan Bertingkat

Mengurai Pola yang Melompat

Pola ikan Nila yang menempati setiap 3 petak memiliki beda penambahan yang juga ikut dilipatgandakan sebesar 3 kali dari beda aslinya.

Saat membaca urutan petak, kita melihat ada tiga jenis ikan yang ditebar bergantian: petak $1$ berisi Nila, petak $2$ berisi Gurame, petak $3$ berisi Lele, lalu siklus berulang di petak $4$ untuk Nila, dan seterusnya. Kalau kita fokus hanya pada kolam ikan Nila, petaknya melompat: petak $1$, $4$, $7$, dan seterusnya hingga mendekati $30$.

Setiap melangkah satu petak kolam biasa, isi ikan bertambah $2$ ekor (membentuk barisan aritmetika dengan beda $2$). Namun, karena petak Nila berikutnya berjarak $3$ langkah, penambahannya terakumulasi:

Isi ikan Nila pada petak-petak awal adalah $10$, lalu $16$, kemudian $22$. Dengan melihatnya sebagai barisan baru yang berjarak tetap (beda baru $= 6$), kita tidak perlu menghitung isi kolam Gurame atau Lele satu per satu untuk mengetahui isi petak Nila selanjutnya.

Ujung ke Ujung Barisan

Untuk menjumlahkan seluruh isi barisan, kita hanya perlu mengetahui angka di petak pertama dan petak terakhir, serta berapa banyak total petaknya.

Petak kolam yang ditebari ikan Nila membentuk barisan nomor $1, 4, 7, \dots$. Karena nomor petak mengikuti kelipatan 3 dikurang 2 (yaitu $3k - 2 \le 30$), petak Nila paling akhir adalah petak ke-$28$. Ini berarti ada tepat $10$ petak yang berisi ikan Nila. Angka di petak pertama sudah kita ketahui dari awal, yaitu $10$ ekor. Sekarang, bagaimana cara menghitung isi di petak ke-$28$?

Kuncinya terletak pada banyaknya lompatan. Untuk berpindah dari pohon atau petak pertama ke petak ke-$28$, kita tidak melompat sebanyak $28$ kali, melainkan hanya $27$ kali lompatan. Mengingat setiap lompatan petak biasa bertambah $2$ ekor, isi ikan di petak ke-$28$ dihitung sebagai:

Melipat Barisan: Trik Gauss

Menjumlahkan deret yang teratur bisa diringkas dengan menjumlahkan sepasang angka terluar (suku pertama dan terakhir), lalu mengalikannya dengan separuh dari banyak sukunya.

Bayangkan barisan angka kita seperti sehelai pita kertas panjang. Menjumlahkan deret ini mirip dengan melipat pita tersebut tepat di tengah menjadi dua bagian:

• Suku terkecil dipasangkan dengan suku terbesar: $10 + 64 = 74$.

• Bergeser satu langkah ke dalam, petak Nila ke-2 dipasangkan dengan petak Nila ke-9: $16 + 58 = 74$.

• Pasangan berikutnya pun akan selalu bernilai sama persis, yaitu $74$.

Karena terdapat $10$ petak ikan Nila, kita bisa membentuk $5$ lipatan pasangan yang masing-masing bernilai $74$. Penjumlahan totalnya menjadi sangat ringkas:

Jika kita menjumlahkan secara manual tanpa metode lipatan yang konsisten, risiko selip hitung sangat besar (misalnya menduga rata-rata sukunya lebih rendah hingga menghasilkan $340$ ekor). Dengan trik lipatan berpasangan, total $370$ ekor dapat diperoleh dengan cepat dan tepat.