Trik Keterbagian: Membongkar Digit Misterius
Menerjemahkan Cerita Jadi Puzzle
Informasi digit yang hilang dan syarat 'habis dibagi' dapat dituliskan sebagai puzzle bilangan.
Bayangkan ada sebuah brankas rahasia berisi seluruh jamur hasil panen yang harus dibagikan rata kepada $72$ konsumen tanpa ada satu tangkai pun yang tersisa. Karena keteledoran pencatatan, kode jumlah total jamur di brankas terhapus pada digit paling depan dan digit paling belakang. Yang tersisa hanyalah empat digit di tengah: $1989$.
Kita bisa memodelkan jumlah total jamur tersebut sebagai bilangan enam digit:
$$a1989b$$
Di sini, $a$ adalah digit awal (angka ratusan ribu) dan $b$ adalah digit akhir (angka satuan). Petunjuk penting dari soal menyatakan bahwa jamur habis dibagi tanpa sisa ke $72$ konsumen. Dalam bahasa matematika, bilangan $a1989b$ memiliki sifat keterbagian oleh $72$, atau ditulis:
$$72 \mid a1989b$$
Membelah Petunjuk Utama
Syarat habis dibagi bilangan besar bisa dipecah menjadi syarat habis dibagi oleh faktor-faktornya yang saling prima.
Untuk membuka brankas $a1989b$, kita butuh trik memecah kode pembaginya. Kalau kita mencoba menebak angka $a$ dan $b$ lalu membaginya langsung dengan $72$ memakai cara pembagian bersusun (porogapit), langkah itu akan sangat melelahkan karena ada puluhan kombinasi digit yang harus dicoba satu per satu.
Solusinya adalah memecah angka $72$ menjadi dua faktor pengali. Namun, kita tidak boleh sembarangan memilih faktor. Misalnya, kenapa kita memilih $8$ dan $9$, bukan $6$ dan $12$? Padahal keduanya sama-sama menghasilkan $72$.
Jawabannya terletak pada sifat faktor saling prima. Dua bilangan disebut saling prima jika keduanya tidak memiliki faktor pembagi bersama selain angka $1$.
Pasangan $6$ dan $12$ sama-sama masih bisa dibagi $6$, sehingga syarat keterbagiannya tumpang tindih.
Pasangan $8$ dan $9$ tidak memiliki angka pembagi bersama selain $1$ (saling prima).
Jika sebuah bilangan misterius diketahui pasti habis dibagi 45, manakah pasangan angka yang paling tepat untuk menguji keterbagian bilangan tersebut?
- 5 dan 9
- 3 dan 15
- 5 dan 10
- 9 dan 36
Jawaban: 5 dan 9
Bilangan 45 dipecah menjadi perkalian dua faktor yang saling prima, yaitu 5 dan 9 (keduanya tidak memiliki faktor pembagi bersama selain 1). Pasangan 3 dan 15 salah karena masih memiliki faktor persekutuan 3, sedangkan 5 dan 10 bukan faktor pengali dari 45, dan 9 serta 36 merupakan hasil pengurangan, bukan pemfaktoran.
Mengenali pasangan faktor yang saling prima untuk menguji keterbagian bilangan komposit.
Trik Habis Dibagi 8
Suatu bilangan habis dibagi 8 jika tiga digit terakhirnya membentuk bilangan yang habis dibagi 8.
Sekarang kita pakai petunjuk pertama: syarat habis dibagi $8$ untuk mencari digit belakang ($b$). Mengapa cukup melihat tiga digit terakhir? Karena setiap kelipatan $1000$ (seperti $1000, 2000, \dots$) sudah pasti habis dibagi $8$ ($1000 \div 8 = 125$). Akibatnya, angka ribuan ke atas tidak memengaruhi sisa pembagian oleh $8$.
Untuk bilangan brankas kita $a1989b$, kita hanya perlu membedah tiga digit paling belakang, yaitu bilangan ratusan:
$$89b$$
Kita perlu mencari digit $b$ (antara $0$ sampai $9$) agar $89b$ habis dibagi $8$. Kita bisa menguraikannya dengan logika kelipatan terdekat:
Bilangan $800$ jelas habis dibagi $8$.
Sisanya adalah bilangan puluhan $9b$. Kita tahu kelipatan $8$ terdekat di bawah $90$ adalah $80$ ($8 \times 10 = 80$). Jadi, $880$ pasti habis dibagi $8$.
Selisih dari $89b - 880$ adalah bilangan belasan: $1b$.
Dengan satu langkah sederhana ini, tiga digit terakhirnya terkonfirmasi menjadi $896$, yang habis dibagi $8$ ($896 \div 8 = 112$). Nomor brankas kita kini semakin jelas: $a19896$.