Barisan Geometri: Bukti dan Logika Lompatan
Logika Lompatan Suku Geometri
Tiap melompat satu suku dalam barisan geometri, nilai dikalikan dengan rasio, sehingga melompat dua suku berarti mengalikan nilai dengan kuadrat rasio.
Secara definisi aljabar, suku ke-$n$ pada barisan geometri dirumuskan sebagai:
$$U_n = a \cdot r^{n-1}$$
Bayangkan konsep ini seperti mesin fotokopi berskala. Jika satu lembar dokumen dimasukkan ke mesin (maju satu suku), ukurannya diperbesar atau diperkecil dengan faktor pengali tetap yang disebut rasio ($r$). Dari suku pertama ke suku kedua, dokumen masuk satu kali:
$$U_2 = U_1 \cdot r$$
Jika dokumen tersebut difotokopi dua kali berturut-turut untuk melangkah dari suku pertama ke suku ketiga, ukurannya terkalikan faktor tersebut sebanyak dua kali:
$$U_3 = U_2 \cdot r = (U_1 \cdot r) \cdot r = U_1 \cdot r^2$$
Diagram di atas mengilustrasikan perpindahan bertahap tersebut. Pada barisan $-1, x, -4, y, \dots$, kita mengetahui nilai suku pertama $U_1 = -1$ dan suku ketiga $U_3 = -4$.
Perpindahan dari $-1$ ke $-4$ melibatkan pengali sebesar:
$$\frac{U_3}{U_1} = \frac{-4}{-1} = 4$$
Karena jarak dari $U_1$ ke $U_3$ menempuh dua kali lompatan suku, angka $4$ tersebut merupakan nilai dari $r^2$, bukan nilai $r$. Menyadari bahwa lompatan dua langkah menghasilkan bentuk kuadrat $r^2 = 4$ mencegah kita dari salah mengira bahwa rasio barisan ini bernilai $4$.
Diketahui sebuah barisan geometri dengan suku pertama (U1) bernilai 3. Tentukan kebenaran setiap pernyataan berikut berdasarkan prinsip lompatan suku!
- Jika U4 bernilai 24, maka rasionya adalah 8. — Salah
- Nilai U5 bisa dicari dengan mengalikan U3 dengan r^2. — Benar
Pernyataan 1 Salah: Dari U1 ke U4 terdapat 3 kali lompatan pengali r, sehingga r^3 = 24 / 3 = 8. Maka rasio r = 2, bukan 8. Pernyataan 2 Benar: Dari U3 ke U5 terdapat 2 kali lompatan pengali r, sehingga suku U5 sama dengan U3 dikalikan r^2.
Relasi antara jumlah lompatan suku dengan pangkat rasio
Pembuktian Rumus Suku Tengah
Hasil kali dua suku yang berjarak sama dari suatu suku tengah, akan selalu persis sama dengan kuadrat dari suku tengah tersebut.
Sifat ini bukan sekadar rumus hafalan, melainkan konsekuensi logis dari representasi aljabar suku-suku barisan geometri. Mari kita nyatakan suku ganjil pertama, ketiga, dan kelima dalam bentuk suku awal $a$ dan rasio $r$:
$$U_1 = a$$
$$U_3 = a \cdot r^2$$
$$U_5 = a \cdot r^4$$
Sekarang, kita kalikan suku-suku ujungnya secara aljabar murni:
$$U_1 \cdot U_5 = (a) \cdot (a \cdot r^4) = a^2 r^4$$
Selanjutnya, kita hitung kuadrat dari suku tengah $U_3$:
$$U_3^2 = (a \cdot r^2)^2 = a^2 (r^2)^2 = a^2 r^4$$
Perhatikan visual interaktif di atas: apa pun nilai awal $a$ maupun nilai rasio $r$ yang kamu atur pada kontrol geser, ekspresi numerik untuk $U_1 \cdot U_5$ selalu setara secara identik dengan $U_3^2$.
Kedua perhitungan aljabar berakhir pada bentuk identik yang sama ($a^2 r^4$). Ini membuktikan secara formal teorema kesamaan simetris:
$$U_3^2 = U_1 \cdot U_5$$
Diberikan barisan geometri sembarang U1, U2, U3, U4, U5. Berdasarkan pembuktian aljabar suku tengah simetris, hasil kali antara suku kedua dan suku keempat (U2 x U4) akan selalu bernilai sama dengan...
- Kuadrat dari U2 ditambah kuadrat U4
- Hasil perkalian dari suku U1 dengan U3
- Kuadrat dari suku tengah U3
- Hasil perkalian dari suku U1 dengan U5
Jawaban: Kuadrat dari suku tengah U3
Suku-suku barisan geometri dapat dinyatakan sebagai U2 = ar dan U4 = ar^3. Jika kedua suku ini dikalikan, hasilnya adalah U2 * U4 = (ar) * (ar^3) = a^2 * r^4 = (ar^2)^2. Karena U3 = ar^2, maka (ar^2)^2 sama persis dengan kuadrat dari U3. Opsi A keliru karena mencampurkan sifat geometri dengan penjumlahan, sedangkan Opsi B dan D tidak mempertahankan simetri jarak terhadap suku tengah.
Pemahaman perluasan sifat suku tengah secara aljabar
Eksekusi dan Analisis Opsi
Pemahaman teorema yang kuat memungkinkan kita menemukan suku jauh tanpa mencari rasio secara manual, selama teliti pada operasi tanda negatif di akhir.
Dari pembuktian aljabar suku tengah simetris pada halaman sebelumnya, kita memiliki relasi:
$$U_3^2 = U_1 \cdot U_5$$
Mari substitusikan nilai-nilai yang telah diketahui dari barisan $-1, x, -4, y, \dots$, di mana $U_1 = -1$ dan $U_3 = -4$:
$$(-4)^2 = (-1) \cdot U_5$$
$$16 = -1 \cdot U_5$$
$$U_5 = -16$$
Soal menanyakan: "Hasil pengurangan suku kelima oleh suku pertama". Frasa matematis ini berarti suku kelima dikurangi suku pertama ($U_5 - U_1$). Lakukan substitusi dengan cermat terhadap tanda negatif:
$$U_5 - U_1 = -16 - (-1) = -16 + 1 = -15$$
Hasil perhitungan ini menunjukkan secara tepat bahwa Opsi B adalah jawaban yang benar.