Membongkar Pertidaksamaan Pecahan
Menerjemahkan Simbol ke Visual
Pernah merasa pusing duluan waktu lihat syarat abstrak kayak $0 < a < b$? Wajar banget! Otak kita lebih gampang mencerna gambar daripada rentetan huruf. Yuk, kita bongkar makna sebenarnya dari simbol ini.
Syarat $0 < a < b$ itu cuma bahasa matematika untuk bilang: "Ini pecahan positif yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya."
Mari kita bedah pelan-pelan:
Angka $0$ di sebelah kiri artinya $a$ dan $b$ itu bilangan positif.
Bagian $a < b$ artinya angka yang di atas (pembilang) lebih kecil dari angka yang di bawah (penyebut).
Kesimpulan aljabarnya sangat simpel: Pecahan $\frac{a}{b}$ ini dinamakan pecahan murni, dan nilainya pasti selalu nyangkut di antara $0$ dan $1$ (atau ditulis $0 < \frac{a}{b} < 1$). Dengan tahu posisi pastinya di garis bilangan, kita jadi punya pondasi kuat buat ngecek sifat-sifat pecahannya.
Jika diketahui syarat 0 < p < q, apa yang bisa kita pastikan dari nilai pecahan p/q?
- A. Nilainya pasti lebih dari 1
- B. Nilainya bisa negatif
- C. Nilainya pasti berada di antara 0 dan 1
- D. Nilainya persis sama dengan 1
Jawaban: C. Nilainya pasti berada di antara 0 dan 1
Karena 0 < p < q, p dan q positif, dan p (pembilang) lebih kecil dari q (penyebut). Pecahan dengan pembilang lebih kecil dari penyebut nilainya selalu di antara 0 dan 1.
Syarat 0 < p < q memastikan pecahan p/q adalah pecahan murni positif yang nilainya antara 0 dan 1.
Efek Kuadrat pada Pecahan
Sekarang kita cek Pernyataan II: $\left(\frac{a}{b}\right)^2 < \frac{a}{b}$. Biasanya kita terbiasa dengan ide bahwa "mengkuadratkan suatu angka bikin angkanya makin besar" (misal $3^2 = 9$). Tapi, apakah aturan itu berlaku untuk pecahan murni?
Dari halaman sebelumnya, kita sudah pegang satu fakta penting: nilai $\frac{a}{b}$ berada di antara $0$ dan $1$. Anggap saja pecahan ini adalah $x$.
Kalau kamu mengambil sebagian dari sesuatu yang belum utuh (pecahan), hasil akhirnya pasti akan semakin kecil. Misalnya $x = \frac{1}{2}$. Kalau dikuadratkan, artinya $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$. Setengah dari setengah kue adalah seperempat ($\frac{1}{4}$) kue. Makin mengecil, kan?
Jadi, tanpa perlu pusing menebak angka pasti dari variabel $a$ dan $b$, kita bisa yakin 100% bahwa pernyataan $\left(\frac{a}{b}\right)^2 < \frac{a}{b}$ itu SESUAI. Ini bukan kebetulan, tapi murni karena sifat fundamental bilangan di antara 0 dan 1.
Jika diketahui m adalah bilangan dengan nilai 0 < m < 1, manakah pernyataan di bawah ini yang BENAR?
- A. m² > m
- B. m² < m
- C. m² = m
- D. m² < 0
Jawaban: B. m² < m
Jika m berada di antara 0 dan 1, mengkuadratkannya (mengalikan pecahan dengan pecahan) akan membuat nilainya semakin kecil, sehingga m² < m.
Mengalikan bilangan positif yang nilainya kurang dari 1 dengan bilangan itu sendiri akan menghasilkan bilangan yang lebih kecil.
Dibalik: Pembilang vs Penyebut
Lanjut ke Pernyataan III yang ngomongin soal invers (kebalikan) dari pecahan, yaitu $\frac{b}{a}$. Pernyataan di soal bilang nilainya kurang dari $1$ ($\frac{b}{a} < 1$). Benar atau salah, ya?
Coba ingat lagi modal awal kita: $0 < a < b$. Ini artinya nilai $b$ itu lebih besar daripada nilai $a$.
Kalau pecahan $\frac{a}{b}$ di balik menjadi $\frac{b}{a}$, sekarang angka yang di atas (pembilang) ukurannya lebih raksasa dari angka yang di bawah (penyebut).
Secara logika pembagian sederhana: Membagi bilangan yang lebih besar dengan bilangan yang lebih kecil pasti hasilnya lebih dari 1. Karena $b > a$, maka $\frac{b}{a}$ pasti bernilai lebih dari $1$ (atau $\frac{b}{a} > 1$).
Jadi, pernyataan di soal yang bilang $\frac{b}{a} < 1$ itu jelas-jelas TIDAK SESUAI.