Menyibak Deret Bertingkat: Dari Teks ke Aljabar

Visualisasi Tumpukan Buku

Total buku pada beberapa baris pertama adalah hasil penjumlahan langsung dari jumlah buku di masing-masing baris tersebut.

Membayangkan susunan rak buku dari atas ke bawah sangat membantu kita memahami deret. Baris paling atas merupakan baris ke-$1$ atau suku pertama ($U_1$), baris di bawahnya adalah baris ke-$2$ ($U_2$), dan terus berlanjut ke bawah.

Ketika soal menyatakan bahwa total buku pada $2$ baris teratas adalah $24$ buah, artinya kita menggabungkan jumlah buku di baris ke-$1$ dan baris ke-$2$:

$$U_1 + U_2 = 24$$

Dengan cara yang sama, kalimat total buku pada $4$ baris teratas adalah $80$ buah berarti akumulasi dari empat baris pertama:

$$U_1 + U_2 + U_3 + U_4 = 80$$

Dalam sebuah tumpukan kardus bertingkat, diketahui kalimat: 'Total 3 tumpukan teratas adalah 45 buah'. Manakah persamaan dasar yang paling tepat menggambarkan kondisi ini?

  • $U_1 + U_2 + U_3 = 45$
  • $U_3 = 45$
  • $3 \times U_1 = 45$
  • $U_1 + U_3 = 45$

Jawaban: $U_1 + U_2 + U_3 = 45$

Total 3 tumpukan teratas berarti menjumlahkan seluruh tumpukan dari tumpukan pertama hingga ketiga ($U_1 + U_2 + U_3 = 45$). Opsi B salah karena hanya mencatat baris ke-3, Opsi C salah karena menganggap tiap tumpukan berisi sama banyak, dan Opsi D salah karena melompati tumpukan kedua di tengah.

Arti dari penjumlahan total barisan pertama (deret partial)

Merakit Persamaan Aljabar

Setiap suku dalam deret aritmetika bisa dijabarkan menjadi suku pertama dan selisihnya agar bisa dihitung bersamaan.

Diagram alur penguraian U1 + U2 menjadi a + a + d = 24

Dalam deret aritmetika, setiap baris baru bertambah sebesar nilai tetap yang disebut beda ($d$). Jadi, baris pertama adalah suku pertama ($a$), sedangkan baris kedua adalah suku pertama ditambah selisih tersebut ($a + d$).

Berdasarkan hubungan ini, kita bisa mengubah informasi $2$ baris teratas:

$$U_1 + U_2 = 24 \implies a + (a + d) = 24 \implies 2a + d = 24$$

Untuk $4$ baris teratas, kita dapat langsung memanfaatkan rumus jumlah $n$ suku pertama, yaitu $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$. Masukkan nilai $n = 4$ dan $S_4 = 80$:

$$80 = \frac{4}{2}(2a + (4-1)d)$$

$$80 = 2(2a + 3d)$$

$$40 = 2a + 3d$$

Memecahkan Teka-Teki SPLDV

Dua persamaan linear yang memiliki variabel yang sama dapat diselesaikan dengan mengurangi satu sama lain.

Sekarang kita memiliki dua persamaan dengan dua variabel yang belum diketahui, yaitu suku pertama ($a$) dan beda ($d$):

  1. $2a + 3d = 40$

  2. $2a + d = 24$

Karena kedua persamaan sama-sama memuat suku $2a$, kita dapat menggunakan metode eliminasi dengan mengurangkan kedua persamaan tersebut. Ketika dikurangkan, suku $2a$ akan saling meniadakan ($2a - 2a = 0$), menyisakan suku $d$ saja:

$$(2a + 3d) - (2a + d) = 40 - 24$$

$$2d = 16 \implies d = 8$$

Setelah mendapatkan nilai $d = 8$, kita cukup memasukkan nilai ini kembali ke salah satu persamaan awal:

$$2a + 8 = 24 \implies 2a = 16 \implies a = 8$$

Diketahui sistem persamaan: $3x + 2y = 30$ dan $3x + y = 20$. Berapakah nilai $y$ setelah kita melakukan eliminasi pada variabel $x$?

  • $y = 10$
  • $y = 5$
  • $y = 20$
  • $y = 30$

Jawaban: $y = 10$

Mengurangkan kedua persamaan: $(3x + 2y) - (3x + y) = 30 - 20$. Suku $3x$ tereliminasi saling meniadakan, menghasilkan $y = 10$. Opsi B salah karena keliru membagi dua, sedangkan Opsi C dan D hanya menebak angka yang ada pada ruas kanan persamaan.

Prinsip dasar metode eliminasi pada SPLDV