Fungsi Komposisi: Mesin Pola & Trik Substitusi

Fungsi Itu 'Mesin Cetak', Bukan Sekadar Huruf

Saat melihat rumus seperti $g(x) = 1 - x$, wajar kalau kita langsung fokus ke huruf $x$. Tapi, coba ubah cara pandangmu: huruf $x$ di situ sebenarnya cuma kotak kosong atau wadah penampung input. Fungsi itu ibarat mesin pencetak pola.

Apapun yang kamu masukkan ke dalam mesin $g$, mesin itu akan selalu melakukan pola yang sama: 1 - (apa pun yang dimasukkan).

• Kalau kamu masukkan angka 3, jadinya $g(3) = 1 - 3$.

• Kalau kamu masukkan kata 'apel', jadinya $g(\text{apel}) = 1 - \text{apel}$.

• Nah, kalau kamu masukkan fungsi lain yang super panjang, misal $K(y)$, hasilnya tetap ngikutin pola: $g(K(y)) = 1 - K(y)$.

Melihat $x$ sebagai wadah kosong bikin kita nggak gampang terkecoh saat harus memasukkan sesuatu yang lebih ribet ke dalam fungsi.

Melihat $x$ sebagai wadah kosong bikin kita nggak gampang terkecoh saat harus memasukkan sesuatu yang lebih ribet ke dalam fungsi.

Mengupas Bawang Komposisi

Sekarang mari kita hadapi monster utamanya: $(g \circ K \circ f)(x) = h(x)$. Jangan panik, arti dari komposisi itu simpel banget. Artinya, fungsi $f$ dimasukkan ke dalam $K$, lalu hasilnya dimasukkan ke dalam $g$. Jadi persamaannya bisa ditulis:

$g(K(f(x))) = h(x)$

Kunci ngerjainnya mirip ngupas bawang: mulai dari kulit terluar. Fungsi terluar kita adalah $g$. Ingat prinsip 'kotak kosong' tadi? Mesin $g$ akan melakukan operasi 1 - (kotak).

Di sini, 'kotak'-nya adalah seluruh blok yang ada di dalam kurung, yaitu $K(f(x))$. Jadi, kita terapkan aturan $g$ pada kotak tersebut:

$g(K(f(x))) = 1 - K(f(x))$

Gabungkan kembali ke persamaan awal, maka: $1 - K(f(x)) = h(x)$

Tada! Sekarang fungsi $K$ sudah terbebas dari kurungan $g$, dan kita bisa melangkah maju menyelesaikannya.

Tada! Sekarang fungsi $K$ sudah terbebas dari kurungan $g$, dan kita bisa melangkah maju menyelesaikannya.

Misteri Huruf 'a': Kenapa Harus Diganti?

Kamu mungkin sering macet di bagian ini: Kita punya $K\left(\frac{1}{x}\right) = 1 - \frac{1}{1-x} = -\frac{x}{1-x}$. Lalu kenapa kita repot-repot memisalkan $a = \frac{1}{x}$? Kenapa nggak langsung ganti aja $\frac{1}{x}$ jadi $x$?

Hati-hati! Fungsi adalah sebuah pola yang seimbang. Kalau kamu mengubah isi kurung sesuka hati, sisi kanannya juga wajib diubah secara proporsional. Kalau cuma diganti nama variabelnya dari $\frac{1}{x}$ jadi $x$ tapi kanannya nggak ikut diubah dengan benar, persamaan itu jadi rusak!

Tujuan kita adalah mencari 'cetakan murni' dari mesin $K$, yaitu $K(\text{kotak}) = \dots$ Cara amannya, kita pakai huruf sementara (disebut dummy variable), misalnya $a$.

1. Misalkan $a = \frac{1}{x}$.

2. Dari situ, kita cari nilai $x$ dalam bentuk $a$, yaitu $x = \frac{1}{a}$.

3. Ganti semua $x$ di sisi kanan dengan $\frac{1}{a}$.

Hasilnya kita dapat pola aslinya: $K(a) = \frac{1}{1-a}$. Kalau polanya sudah didapat, huruf $a$ itu bisa kamu ganti lagi jadi $x$, $y$, atau apapun tanpa merusak nilai!

Hasilnya kita dapat pola aslinya: $K(a) = \frac{1}{1-a}$. Kalau polanya sudah didapat, huruf $a$ itu bisa kamu ganti lagi jadi $x$, $y$, atau apapun tanpa merusak nilai!