Menyiasati Polinomial dengan Variabel Jamak

Menembus Blokade Variabel

Kehadiran variabel yang belum diketahui di suku banyak tidak mengubah struktur dasar pembagian. Ketika melihat suku banyak $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 2x + 5$ dibagi oleh $x^2 - x + 2$, insting spontan kita mungkin mencari akar-akar dari pembagi untuk disubstitusikan. Namun, bentuk $x^2 - x + 2$ tidak memiliki pembuat nol rasional karena nilai diskriminannya negatif ($D = (-1)^2 - 4(1)(2) = -7 < 0$).

Di sinilah kita membutuhkan Identitas Polinomial sebagai cetak biru bangunan yang universal dan berlaku untuk nilai $x$ berapa pun:

$$f(x) = P(x) \cdot H(x) + S(x)$$

Diagram blok struktur identitas polinomial f x = P x dikali H x ditambah S x dengan derajat masing-masing suku.

Karena $f(x)$ berderajat $4$ dan pembagi $P(x)$ berderajat $2$, maka hasil bagi $H(x)$ pasti berderajat $4 - 2 = 2$. Koefisien utama dari $f(x)$ dan $P(x)$ keduanya adalah $1$, sehingga suku pertama $H(x)$ pastilah $1x^2$. Dengan memisalkan $H(x) = x^2 + px + q$, struktur cetak biru kita kini utuh dan siap digunakan untuk melacak variabel $a$ dan $b$.

Metode 1: Kesamaan Suku Banyak

Mengeksekusi jabaran aljabar dan menyamakan koefisien adalah cara paling aman untuk melacak variabel di tengah polinomial. Prinsip Kesamaan Suku Banyak mengibaratkan dua bangunan identik: jika rancangannya sama persis untuk setiap nilai $x$, maka ukuran dinding pada tiap tingkat pangkat yang bersesuaian wajib bernilai sama.

Mari kita jabarkan ruas kanan dari cetak biru $f(x) = (x^2 - x + 2)(x^2 + px + q) + (3x - 1)$:

$$\begin{aligned} (x^2 - x + 2)(x^2 + px + q) &= x^4 + (p - 1)x^3 + (q - p + 2)x^2 + (2p - q)x + 2q \end{aligned}$$

Setelah menambahkan sisa $S(x) = 3x - 1$, ruas kanan menjadi:

$$x^4 + (p - 1)x^3 + (q - p + 2)x^2 + (2p - q + 3)x + (2q - 1)$$

Bandingkan koefisien ruas kanan ini dengan ruas kiri, yaitu $x^4 + ax^3 + bx^2 - 2x + 5$:

  1. Suku Konstanta: Suku tanpa variabel $x$ hanya memuat $q$, sehingga langsung dapat diselesaikan:

    $$2q - 1 = 5 \implies 2q = 6 \implies q = 3$$

  2. Koefisien $x$: Substitusikan nilai $q = 3$ ke koefisien $x$:

    $$2p - q + 3 = -2 \implies 2p - 3 + 3 = -2 \implies 2p = -2 \implies p = -1$$

  3. Koefisien $x^3$ (Mencari $a$):

    $$a = p - 1 = -1 - 1 \implies a = -2$$

  4. Koefisien $x^2$ (Mencari $b$):

    $$b = q - p + 2 = 3 - (-1) + 2 \implies b = 6$$

Diberikan kesamaan suku banyak $x^2 + cx + 4 = (x - 1)(x + d) + 2$. Langkah pertama apa yang paling efisien untuk mencari nilai $d$?

  • Memfaktorkan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna (x - 2)(x - 2).
  • Menyamakan suku konstanta di ruas kiri (4) dengan hasil jabaran konstanta di ruas kanan (-d + 2).
  • Mencari nilai c terlebih dahulu dengan menyamakan koefisien x di kedua ruas.
  • Mengalikan seluruh persamaan dengan variabel x agar derajat polinomial bertambah.

Jawaban: Menyamakan suku konstanta di ruas kiri (4) dengan hasil jabaran konstanta di ruas kanan (-d + 2).

Menyamakan suku konstanta langsung menghasilkan 4 = -d + 2 tanpa melibatkan variabel c, sehingga d = -2 langsung diperoleh. Opsi A keliru karena nilai c belum diketahui sehingga ruas kiri belum tentu kuadrat sempurna. Opsi C kurang efisien karena menghasilkan c = d - 1 yang masih memuat dua variabel. Opsi D tidak relevan dan memperumit persamaan.

Menyamakan koefisien dari ruas yang bersesuaian adalah kunci identitas polinomial.

Metode 2: Porogapit Mekanikal

Porogapit tetap bisa dipakai dengan variabel tak diketahui, asalkan teliti saat mengurangkan aljabarnya. Sering ada anggapan bahwa pembagian bersusun hanya dapat digunakan jika seluruh koefisien berupa angka pasti. Padahal, koefisien aljabar seperti $a$ dan $b$ tetap dapat diproses sebagaimana bilangan biasa, meski perhitungannya membutuhkan kecermatan tanda.

Mari kita susun pembagian $(x^4 + ax^3 + bx^2 - 2x + 5) \div (x^2 - x + 2)$ secara vertikal:

Bagan langkah awal pembagian bersusun porogapit untuk f x dibagi pembagi x kuadrat kurang x tambah 2 dengan fokus pada baris pengurangan aljabar.

Pada langkah pertama, $x^4$ dibagi oleh $x^2$ menghasilkan $x^2$. Lalu kita kalikan $x^2$ dengan seluruh pembagi menghasilkan $x^4 - x^3 + 2x^2$. Saat kita lakukan operasi pengurangan bersusun:

Karena variabel $a$ dan $b$ berada di depan (pada suku derajat $3$ dan $2$), huruf aljabar ini langsung ikut turun sejak baris pertama. Pada langkah-langkah berikutnya, suku-suku seperti $(a + 1)$ akan terus dikalikan ke pembagi dan dikurangkan lagi ke bawah hingga tersisa ekspresi linear berderajat satu. Di akhir proses, koefisien sisa dalam bentuk aljabar tersebut kemudian disamakan dengan sisa yang diberikan soal, yaitu $3x - 1$.