Peluang Minimal 1: Bongkar Kasus vs Jalan Pintas Komplemen

Sekaligus vs Berurutan

Mengambil beberapa objek sekaligus berarti urutan pengambilan tidak ada, sehingga wajib menggunakan aturan kombinasi, bukan permutasi.

Dua tangan memegang kartu: tangan kiri meraup dua kartu sekaligus bersamaan, tangan kanan mengambil kartu satu per satu berurutan.

Saat tangan kita meraup $2$ lampu sekaligus dari kotak, tidak ada konsep "lampu pertama" atau "lampu kedua". Keduanya keluar secara bersamaan dalam satu genggaman. Bayangkan kamu menekan tombol Draw x2 pada game gacha: dua kartu karakter langsung muncul berbarengan di layar tanpa urutan posisi pemenang.

Karena urutan kemunculan tidak diperhatikan, kita menghitung ruang sampel tarikan menggunakan kombinasi $C(20, 2)$, bukan permutasi $P(20, 2)$. Permutasi menganggap pasangan $(A, B)$ berbeda dengan $(B, A)$ sehingga menghasilkan hitungan ganda yang keliru, sedangkan kombinasi otomatis membuang duplikasi urutan tersebut.

Seorang koki mengambil 3 butir telur sekaligus dari keranjang berisi 10 telur untuk membuat adonan kue. Manakah pernyataan yang paling tepat mengenai perhitungan banyak cara koki tersebut mengambil telur?

  • Dihitung dengan Kombinasi karena tidak membedakan mana telur yang terambil pertama, kedua, atau ketiga.
  • Dihitung dengan Permutasi karena ada 3 posisi telur di tangannya yang dapat dibedakan urutannya.
  • Dihitung dengan aturan perkalian 10 x 9 x 8 karena telur-telur tersebut diambil berturut-turut.
  • Dihitung dengan Kombinasi karena telur-telurnya identik secara fisik dan tidak bisa dibedakan.

Jawaban: Dihitung dengan Kombinasi karena tidak membedakan mana telur yang terambil pertama, kedua, atau ketiga.

Pengambilan objek secara sekaligus berarti seluruh objek terambil dalam satu momen tanpa adanya urutan langkah (tidak ada urutan pertama, kedua, atau ketiga). Karena urutan tidak diperhatikan, aturan pencacahan yang digunakan adalah Kombinasi, bukan Permutasi. Faktor identik atau tidaknya objek secara fisik bukan alasan digunakannya kombinasi.

Kejadian mengambil objek sekaligus dihitung menggunakan kombinasi karena urutan tidak diperhatikan.

Membedah 'Minimal 1'

Kejadian bersyarat 'minimal 1' harus dipecah menjadi beberapa kasus pasti agar bisa dihitung satu per satu.

Diagram percabangan pemecahan kasus tarikan 2 lampu menjadi 0 cacat, 1 cacat 1 baik, dan 2 cacat dengan kurung penanda minimal 1 cacat.

Dalam tarikan $2$ lampu dari kotak, frasa minimal 1 lampu cacat berarti jumlah lampu cacat yang terambil bisa berupa:

Pendekatan ini disebut sebagai cara langsung (direct method). Jika dianalogikan dengan game gacha, target "minimal dapat $1$ karakter Super Rare (SR)" dalam tarikan isi $2$ kartu berarti kamu bisa mendapatkan $1$ kartu SR bersama $1$ kartu biasa, atau beruntung mendapatkan $2$ kartu SR sekaligus.

Dalam uji sampel beras, seorang petugas mengambil 3 butir beras secara acak dari wadah. Tentukan apakah pemecahan kasus berikut Benar atau Salah!

  • Minimal 2 butir jelek = mendapat 2 butir jelek atau 3 butir jelek. — Benar
  • Minimal 1 butir jelek = mendapat 1 butir jelek atau 2 butir jelek. — Salah

Pernyataan 1 Benar: 'Minimal 2' dari 3 tarikan mencakup tepat 2 butir jelek atau tepat 3 butir jelek (maksimum tarikan). Pernyataan 2 Salah: 'Minimal 1' dari 3 tarikan tidak hanya 1 atau 2 butir jelek, melainkan harus mencakup kasus maksimum yaitu 3 butir jelek sekaligus.

Kejadian 'minimal x' merupakan gabungan dari kejadian tepat x dan lebih besar dari x hingga batas maksimum penarikan.

Jalan Pintas Komplemen

Alih-alih menjumlahkan banyak kasus, menghitung kejadian sebaliknya (peluang komplemen) sering kali jauh lebih ringkas.

Diagram batang horizontal panjang bernilai total 1 yang dibagi menjadi segmen 0 Cacat Komplemen dan Minimal 1 Cacat Tujuan.

Mari kita balik sudut pandangnya: dari semua kemungkinan hasil tarikan $2$ lampu, apa satu-satunya skenario yang TIDAK kita inginkan? Jawabannya adalah ketika kita tidak mendapatkan lampu cacat sama sekali (kedua lampu yang terambil adalah lampu baik).

Di dunia game gacha, ini sama dengan kondisi zonk total—kedua kartu yang didapat hanyalah karakter biasa. Sebuah prinsip fundamental dalam teori probabilitas menyatakan bahwa seluruh kemungkinan hasil selalu berjumlah utuh:

$$\text{Peluang Zonk} + \text{Peluang Minimal 1 Cacat} = 1$$

Artinya, daripada menghitung kasus $1$ cacat dan kasus $2$ cacat secara terpisah, kita cukup mencari peluang kejadian komplemennya (zonk), lalu mengurangkannya dari angka $1$.