Menerjemahkan Toleransi ke Nilai Mutlak

Penyimpangan = Jarak Dua Arah

Pernahkah kamu mendengar kalimat seperti: "Jarak rumah ke sekolah menyimpang paling banyak $2\text{ km}$ dari patokan $10\text{ km}$"?

Secara alami, intuisimu langsung tahu: rumah tersebut tidak pasti berjarak tepat $10\text{ km}$. Bisa jadi lebih dekat ($10 - 2 = 8\text{ km}$), atau justru lebih jauh ($10 + 2 = 12\text{ km}$). Rentang yang mungkin adalah antara $8\text{ km}$ sampai $12\text{ km}$.

Perbandingan garis bilangan jarak rumah dan tingkat pH yang menunjukkan konsep penyimpangan dua arah dari titik tengah.

Dalam sains dan industri, kata penyimpangan (deviation atau tolerance) bekerja dengan prinsip yang sama persis: mengukur seberapa jauh suatu nilai boleh bergeser ke dua arah (naik atau turun) dari titik acuan ideal.

Jika kita hanya menghitung ke satu arah (misalnya mengurangi $0{,}2$ dua kali ke bawah hingga mendapat $8{,}1$), kita mengabaikan kemungkinan larutan bergeser menjadi lebih basa. Eksperimen tetap dianggap berhasil selama $\text{pH}$ berada di koridor aman simetris tersebut.

Sebuah lemari pendingin laboratorium diatur pada suhu ideal $20^\circ\text{C}$. Agar sampel biologis tidak rusak, suhu hanya boleh menyimpang maksimal $1{,}5^\circ\text{C}$ dari suhu ideal tersebut. Berapakah rentang suhu yang diizinkan?

  • Suhu terendah yang diizinkan adalah 18 °C dan tertinggi 22 °C
  • Suhu terendah yang diizinkan adalah 19 °C dan tertinggi 20 °C
  • Suhu terendah yang diizinkan adalah 18,5 °C dan tertinggi 21,5 °C
  • Suhu terendah yang diizinkan adalah 17 °C dan tertinggi 20 °C

Jawaban: Suhu terendah yang diizinkan adalah 18,5 °C dan tertinggi 21,5 °C

Penyimpangan maksimum 1,5 °C dari patokan 20 °C berarti suhu boleh turun 1,5 °C (20 - 1,5 = 18,5 °C) atau naik 1,5 °C (20 + 1,5 = 21,5 °C). Jadi rentangnya 18,5 °C s.d. 21,5 °C.

Penyimpangan atau toleransi dari nilai acuan berlaku simetris ke dua arah (atas dan bawah).

Nilai Mutlak sebagai Simbol Jarak

Bagaimana matematikawan menuliskan kalimat panjang seperti: "Selisih antara nilai hasil ukur $x$ dan nilai patokan $c$ tanpa memedulikan siapa yang lebih besar"?

Jawabannya adalah tanda nilai mutlak:

Karena jarak fisik tidak pernah bernilai negatif, nilai mutlak secara otomatis menjamin hasilnya selalu positif atau nol, baik ketika $x > c$ maupun ketika $x < c$.

Mari kita terjemahkan kalimat soal ke dalam bahasa matematika:

  1. Nilai target ($\text{pH}$ ideal): $c = 8{,}5$.

  2. Nilai aktual yang terukur: $x$.

  3. Jarak/penyimpangan antara keduanya: $|x - 8{,}5|$.

  4. Syarat eksperimen: "tidak boleh lebih dari $0{,}2$", yang berarti kurang dari atau sama dengan ($\le 0{,}2$).

Gabungan keempat poin ini menghasilkan satu model pertidaksamaan tunggal:

Sebuah mesin pencetak baut baja dirancang menghasilkan diameter baut ideal $5{,}00\text{ mm}$. Baut dinyatakan lolos kendali mutu jika penyimpangan diameternya ($d$) tidak lebih dari $0{,}05\text{ mm}$. Manakah model pertidaksamaan nilai mutlak yang tepat?

  • $|d - 0{,}05| \le 5{,}00$
  • $|d - 5{,}00| \le 0{,}05$
  • $|d - 5{,}00| \ge 0{,}05$
  • $|d + 5{,}00| \le 0{,}05$

Jawaban: $|d - 5{,}00| \le 0{,}05$

Penyimpangan diameter d dari diameter ideal 5,00 mm ditulis sebagai jarak |d - 5,00|. Syarat 'tidak lebih dari 0,05 mm' dinyatakan dengan tanda <= 0,05. Maka modelnya adalah |d - 5,00| <= 0,05.

Model matematis toleransi penyimpangan maksimum r dari target c adalah |x - c| <= r.

Pola Pertidaksamaan: Kurang vs Lebih

Saat membuka tanda mutlak pada pertidaksamaan, tanda pertidaksamaan menentukan ke mana arah daerah penyelesaiannya: apakah menyatu di dalam atau terpisah ke luar.

Bayangkan suatu nilai berada di dalam sebuah batas radius $r$:

Perbandingan visual dua garis bilangan untuk pertidaksamaan nilai mutlak bertanda kurang dari versus lebih dari.

Dua pola dasar pertidaksamaan nilai mutlak:

  1. Bentuk "Kurang Dari" ($\le$): Terkurung di Dalam $$\text{Jika } |u| \le r, \quad \text{maka } -r \le u \le r$$ Artinya, jarak $u$ dari titik pusat tidak boleh melebihi $r$. Nilai $u$ terperangkap dalam satu interval gabung yang utuh di antara batas kiri $-r$ dan batas kanan $+r$.

  2. Bentuk "Lebih Dari" ($\ge$): Terusir ke Luar $$\text{Jika } |u| \ge r, \quad \text{maka } u \le -r \quad \text{atau} \quad u \ge r$$ Artinya, jarak $u$ dari pusat harus minimal sejauh $r$. Nilai $u$ berada di area sayap luar, sehingga intervalnya pecah menjadi dua bagian yang terpisah.

Karena soal larutan $\text{pH}$ membatasi toleransi agar tidak melebihi $0{,}2$ ($|x - 8{,}5| \le 0{,}2$), kita langsung menggunakan pola pertama:

Bentuk manakah yang setara dengan pertidaksamaan nilai mutlak $|y - 3| \le 4$ setelah tanda mutlaknya dibuka?

  • $y - 3 \le -4 \text{ atau } y - 3 \ge 4$
  • $-4 \le y - 3 \le 4$
  • $0 \le y - 3 \le 4$
  • $-4 \le y \le 4$

Jawaban: $-4 \le y - 3 \le 4$

Berdasarkan sifat dasar pertidaksamaan nilai mutlak, bentuk |u| <= r setara dengan -r <= u <= r. Dengan u = y - 3 dan r = 4, bentuk aljabar tanpa tanda mutlaknya adalah -4 <= y - 3 <= 4.

Bentuk |u| <= r setara dengan pertidaksamaan ganda -r <= u <= r.