Barisan Gabungan: Dari Sifat Menjadi Persamaan
Menerjemahkan Syarat Barisan
Langkah pertama menyelesaikan soal barisan adalah mengubah definisi barisan menjadi persamaan matematis.
Di dalam soal, kita berhadapan dengan suku-suku yang sama namun harus mematuhi dua aturan permainan yang berbeda:
Barisan Aritmatika: Susunan bilangan yang selisih antar suku berurutannya selalu sama. Bayangkan seperti menaiki tangga dengan anak tangga yang sama tinggi; setiap langkah menambah nilai yang tetap. Untuk tiga suku $e_1, e_2, e_3$, selisihnya konstan:
$$e_2 - e_1 = e_3 - e_2$$
Jika kita susun ulang dengan memindahkan suku sejenis, kita mendapatkan hubungan suku tengah:
$$2e_2 = e_1 + e_3$$
Barisan Geometri: Susunan bilangan yang perbandingan (rasio) antar suku berurutannya selalu sama. Bayangkan seperti melipat kertas yang membesar berkali lipat; setiap langkah mengalikan nilai sebelumnya dengan faktor pengali yang tetap. Untuk suku $e_1, e_2, e_1+e_3$, rasionya konstan:
$$\frac{e_2}{e_1} = \frac{e_1+e_3}{e_2}$$
Dengan mengalikan silang kedua pecahan tersebut, persamaannya menjadi:
$$e_2^2 = e_1(e_1+e_3)$$
Diketahui 3 suku berurutan x, y, z membentuk barisan geometri. Persamaan mana yang pasti berlaku?
- 2y = x + z
- y^2 = xz
- y = xz
- x^2 = yz
Jawaban: y^2 = xz
Pada barisan geometri berurutan x, y, z, rasio antar sukunya konstan, yaitu y/x = z/y. Melakukan perkalian silang menghasilkan y^2 = xz. Opsi 2y = x + z merupakan aturan barisan aritmatika, sedangkan y = xz dan x^2 = yz salah dalam penempatan kuadrat dan suku pembandingnya.
Siswa dapat menuliskan hubungan matematis dari 3 suku barisan geometri.
Kekuatan Substitusi
Menghubungkan dua persamaan yang didapat untuk mencari nilai atau perbandingan tertentu.
Setelah kedua aturan permainan dituliskan, jembatan penghubung keduanya adalah substitusi, yaitu mengganti sebuah variabel atau kelompok variabel dengan nilai maupun ekspresi lain yang setara.
Bagan di atas memperlihatkan bagaimana kedua persamaan saling melengkapi:
Dari aturan Aritmatika, kita punya $e_1 + e_3 = 2e_2$.
Pada aturan Geometri, kita punya persamaan $e_2^2 = e_1(e_1+e_3)$.
Perhatikan bahwa ekspresi $(e_1 + e_3)$ pada persamaan geometri dapat langsung digantikan oleh $2e_2$. Melalui Substitusi ini, kita memperoleh:
$$e_2^2 = e_1(2e_2)$$
Karena suku-suku barisan tidak nol, kita dapat membagi kedua ruas dengan $e_2$:
$$e_2 = 2e_1$$
Untuk mencapai Hasil Akhir, substitusikan kembali $e_2 = 2e_1$ ke persamaan aritmatika awal:
$$2e_2 = e_1 + e_3$$
$$2(2e_1) = e_1 + e_3$$
$$4e_1 = e_1 + e_3$$
Kurangkan kedua ruas dengan $e_1$:
$$3e_1 = e_3 \implies \frac{e_3}{e_1} = 3$$
Dengan demikian, perbandingan yang benar bernilai $3$, sesuai dengan Opsi D.
Diketahui persamaan y = 3x dan 2y = x + z. Berapakah nilai dari z/x?
- 3
- 5
- 6
- 7
Jawaban: 5
Substitusi y = 3x ke dalam persamaan 2y = x + z menghasilkan 2(3x) = x + z, sehingga 6x = x + z. Kurangkan kedua ruas dengan x untuk mendapatkan 5x = z, yang berarti z/x = 5. Opsi 3 adalah jebakan nilai y/x, opsi 6 lupa mengurangkan x saat pindah ruas, dan opsi 7 salah menjumlahkan ruas alih-alih mengurangkan.
Siswa dapat melakukan substitusi yang tepat untuk menemukan nilai yang diminta.
Mengevaluasi Opsi Lain
Mengetahui di mana letak kesalahan jebakan membantu memeriksa ulang jawaban.
Opsi-opsi yang tersedia dalam soal ini mewakili titik-titik jebakan yang sering dialami siswa saat melakukan manipulasi aljabar:
Opsi C (2): Titik henti prematur. Siswa berhasil menemukan bahwa $e_2 = 2e_1$ lalu buru-buru memilih angka $2$, padahal itu adalah nilai dari $\frac{e_2}{e_1}$, bukan $\frac{e_3}{e_1}$.
Opsi E (4): Kesalahan membaca koefisien. Pada tahap $4e_1 = e_1 + e_3$, siswa langsung menyimpulkan angka $4$ sebagai perbandingan tanpa mengurangkan suku $e_1$ di ruas kanan terlebih dahulu.
Opsi A (5): Kesalahan tanda aljabar. Saat memindahkan $e_1$ dari ruas kanan ke ruas kiri, suku tersebut tidak dikurangkan melainkan dijumlahkan ($4e_1 + e_1 = 5e_1 = e_3$), sehingga menghasilkan nilai $5$.
Opsi B (1): Nilai $1$ berarti $e_1 = e_3$, yang akan membuat beda barisan aritmatika bernilai $0$ dan $e_2 = e_1$. Kondisi barisan konstan ini tidak memenuhi syarat rasio suku geometri non-trivial jika diuji kembali ke persamaannya.