Bongkar Trik Operasi Akar Sekawan

Penjumlahan Akar Suku Sejenis

Bentuk akar yang persis sama dapat dijumlahkan seperti mengumpulkan benda yang sejenis. Saat kamu menjumlahkan bentuk aljabar, suku seperti $x$ hanya bisa digabung dengan $x$, bukan dengan $y$. Prinsip yang sama berlaku untuk bentuk akar: suku bertanda $\sqrt{5}$ hanya bisa dijumlahkan dengan $\sqrt{5}$, sementara suku $\sqrt{2}$ hanya dengan $\sqrt{2}$.

Mari kita buktikan Opsi B dengan menjumlahkan nilai $x$ dan $y$ secara langsung:

$$\begin{aligned} x + y &= (\sqrt{5} + \sqrt{2}) + (\sqrt{5} - \sqrt{2}) \\ &= \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{2} - \sqrt{2} \end{aligned}$$

Perhatikan suku-sukunya:

  1. Suku $\sqrt{2} - \sqrt{2}$ saling meniadakan menjadi $0$.

  2. Sisa suku $\sqrt{5} + \sqrt{5}$ bergabung menjadi $2\sqrt{5}$.

Karena hasil akhirnya adalah $2\sqrt{5}$, maka Opsi B benar. Kedua ekspresi ini memiliki struktur yang simetris, sehingga suku $\sqrt{2}$ yang berlawanan tanda langsung habis saat dijumlahkan.

Perkalian Akar Sekawan

Mengalikan bentuk sekawan $(a + b)$ dan $(a - b)$ akan menghilangkan akar pada suku-suku tengahnya. Pasangan binomial seperti $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ dan $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ disebut saling sekawan karena kedua sukunya persis sama, hanya tanda operasi di tengahnya yang berlawanan (plus dan minus).

Diagram skema perkalian silang metode pelangi antara dua kurung binomial.

Pasangan sekawan ini bekerja ibarat kunci dan gembok. Saat mereka disatukan lewat perkalian distributif (metode pelangi), bagian 'gerigi' akar yang rumit di bagian tengah akan saling mengeliminasi:

$$\begin{aligned} x \cdot y &= (\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) \\ &= (\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}) - (\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}) + (\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}) - (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) \\ &= 5 - \sqrt{10} + \sqrt{10} - 2 \end{aligned}$$

Dua suku di tengah, yaitu $-\sqrt{10} + \sqrt{10}$, tepat bernilai $0$. Karena suku tengah selalu saling menghapus, kita bisa langsung memakai rumus selisih dua kuadrat:

$$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$

Dengan trik depan kuadrat dikurangi belakang kuadrat ini, perhitungannya menjadi sangat ringkas:

$$x \cdot y = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$$

Hasil perkalian ini adalah bilangan bulat rapi tanpa akar, yang membuktikan bahwa Opsi A benar.

Diberikan dua ekspresi bentuk akar $p = \sqrt{7} + \sqrt{3}$ dan $q = \sqrt{7} - \sqrt{3}$. Berapakah nilai dari $p \cdot q$?

  • 10
  • 4
  • 4 + 2\sqrt{21}
  • \sqrt{10}

Jawaban: 4

Perkalian dua bentuk sekawan $(p)(q) = (\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})$ menghasilkan selisih dua kuadrat $(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4$. Opsi A salah karena menjumlahkan kuadratnya ($7 + 3$). Opsi C salah karena menggunakan rumus kuadrat binomial $(p+q)^2$. Opsi D salah karena menjumlahkan angka dalam akar tanpa aturan perkalian yang benar.

Mengalikan dua bentuk akar sekawan menghasilkan selisih dari kuadrat masing-masing suku.

Trik Aljabar untuk Kuadrat

Nilai $x^2 + y^2$ dapat dihitung lebih mudah dengan memanfaatkan hasil $x + y$ dan $x \cdot y$ yang sudah diketahui. Mengkuadratkan masing-masing binomial berakar secara terpisah sering kali memicu kekeliruan perhitungan karena menghasilkan banyak suku campuran.

Dari identitas $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, kita bisa memindahkan suku $2xy$ ke ruas kiri untuk mendapatkan hubungan praktis:

$$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$$

Untuk mengevaluasi Opsi C, kita tinggal memasukkan hasil yang sudah kita dapatkan di halaman sebelumnya, yaitu $x + y = 2\sqrt{5}$ dan $xy = 3$:

$$\begin{aligned} x^2 + y^2 &= (2\sqrt{5})^2 - 2(3) \\ &= (2^2 \cdot (\sqrt{5})^2) - 6 \\ &= (4 \cdot 5) - 6 \\ &= 20 - 6 = 14 \end{aligned}$$

Perhitungan menjadi jauh lebih cepat dan bersih tanpa harus menjabarkan akar satu per satu. Dengan demikian, Opsi C benar.

Budi mengkuadratkan bentuk $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$. Evaluasi kebenaran pernyataan berikut mengenai proses yang dilakukan Budi.

  • Hasil akhir pengkuadratan tersebut adalah 5. — Salah
  • Suku tengah yang muncul dari penjabaran adalah $2\sqrt{6}$. — Benar

Pernyataan 1 Salah karena pengkuadratan binomial $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$ menghasilkan $(\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$, bukan sekadar 5. Pernyataan 2 Benar karena suku tengah didapatkan dari $2ab = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{6}$.

Mengkuadratkan binomial bentuk akar menghasilkan tiga suku, bukan sekadar jumlah kuadratnya.