Suku Tengah Barisan Aritmatika: Intuisi ke Notasi
Menggambar Jarak Antrean
Bayangkan kamu sedang melihat sebuah antrean panjang yang sangat rapi. Orang ke-50 memegang papan bernomor $100$, dan orang ke-100 memegang papan bernomor $200$.
Sekarang, di mana posisi orang ke-75?
Kalau kita hitung jarak posisinya, dari orang ke-50 menuju ke-75 butuh 25 langkah. Lalu, dari orang ke-75 menuju ke-100 juga butuh 25 langkah. Artinya, posisi orang ke-75 ini persis berada di tengah-tengah antara orang ke-50 dan orang ke-100.
Karena letak orang ke-75 ada persis di tengah secara urutan (indeks), maka nilai yang dia pegang juga pasti persis di tengah-tengah antara angka $100$ dan $200$. Di barisan aritmatika, keseimbangan jarak posisi selalu menjamin keseimbangan jarak nilai.
Jika dalam sebuah barisan aritmatika kita mengetahui nilai di posisi ke-10 dan ke-30, apa yang bisa kita simpulkan tentang posisi ke-20 secara letak?
- Jaraknya lebih dekat ke posisi 10
- Posisinya persis di tengah-tengah antara posisi 10 dan 30
- Jarak dari posisi 10 ke 20 lebih jauh daripada posisi 20 ke 30
- Nilai di posisi 20 sama dengan nilai di posisi 30
Jawaban: Posisinya persis di tengah-tengah antara posisi 10 dan 30
Dari 10 ke 20 butuh 10 langkah, dan dari 20 ke 30 juga 10 langkah. Karena jarak langkahnya sama, posisi 20 persis ada di tengah antara 10 dan 30.
Posisi yang persis di tengah pada barisan aritmatika memiliki jarak langkah yang sama ke kedua ujungnya.
Menebak Nilai Rata-rata
Di halaman sebelumnya kita sudah sepakat kalau nilai orang ke-75 pasti ada persis di tengah antara $100$ dan $200$. Pertanyaannya: gimana cara gampang nyari angka yang posisinya persis di tengah?
Caranya adalah dengan mencari rata-rata (aritmatika) dari kedua ujung tersebut.
Untuk mencari titik tengah yang presisi antara dua angka, kamu cukup menjumlahkan kedua angka itu, lalu dibagi dua.
Mari kita buktikan dengan pola angka yang lebih kecil dan sederhana. Coba bayangkan barisan: $2, 4, 6$.
Angka yang di tengah adalah $4$.
Kalau kita pakai rumus rata-rata dari angka ujungnya: $(2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4$. Polanya terbukti sama persis!
Jadi, untuk mencari nilai di posisi 75 tadi, perhitungannya sangat simpel: $(100 + 200) / 2 = 150$. Sesederhana itu!
Dalam suatu barisan aritmatika, nilai suku ke-5 adalah 40 dan nilai suku ke-15 adalah 60. Karena suku ke-10 berada persis di tengahnya, berapakah nilai suku ke-10 tersebut?
- 40
- 45
- 50
- 55
Jawaban: 50
Nilai tengah bisa dicari dengan rata-rata: (40 + 60) / 2 = 100 / 2 = 50.
Nilai suku tengah adalah rata-rata dari kedua suku pengapitnya: (Kiri + Kanan) / 2.
Beralih ke Baju Matematika
Sekarang kita pasangkan intuisi "antrean" dan "rata-rata" tadi dengan bahasa formal yang sering muncul di buku atau soal matematika.
Di matematika, "orang ke-50" atau "suku ke-50" cukup ditulis sebagai $a_{50}$. Angka kecil di bawah (indeks) itu menunjukkan urutan posisinya.
Jadi, informasi di soal bisa ditulis: $a_{50} = 100$ dan $a_{100} = 200$.
Nah, karena posisi $75$ adalah rata-rata dari posisi $50$ dan $100$ (karena $\frac{50 + 100}{2} = 75$), maka nilai dari $a_{75}$ juga merupakan rata-rata dari nilai $a_{50}$ dan $a_{100}$.
Dengan memakai trik melihat posisi tengah ini, kita tidak perlu repot-repot mencari berapa loncatan tiap langkah (selisih atau beda per sukunya). Selama posisi indeksnya seimbang, kita bisa langsung potong kompas pakai rata-rata!
Dari pilihan berikut, manakah penulisan notasi suku tengah barisan aritmatika yang SALAH (tidak berada pas di tengah)?
- a_10 = (a_5 + a_20) / 2
- a_12 = (a_10 + a_14) / 2
- a_15 = (a_10 + a_20) / 2
- a_20 = (a_10 + a_30) / 2
Jawaban: a_15 = (a_10 + a_20) / 2
Indeks 12 BUKAN di tengah 10 dan 15 (tengahnya 12.5). Suku yang berada persis di tengah 10 dan 14 adalah 12, karena (10+14)/2 = 12.
Jika indeks z berada di tengah x dan y, maka a_z = (a_x + a_y) / 2