Bermain Simbol: Sifat Rahasia Pecahan Murni

Kuadrat Pecahan: Kok Makin Kecil?

Bilangan pecahan murni (antara $0$ dan $1$) jika dikuadratkan nilainya akan menjadi lebih kecil.

Kita terbiasa melihat bilangan bulat positif seperti $2$ atau $3$. Ketika dikuadratkan, nilainya melesat membesar menjadi $4$ atau $9$. Kebiasaan ini sering memicu anggapan umum bahwa menguadratkan suatu bilangan pasti memperbesar nilainya. Namun, aturan tersebut berbalik saat kita berhadapan dengan bilangan di antara $0$ dan $1$.

Ambil contoh pecahan $\frac{1}{2}$. Jika dikuadratkan, hasilnya adalah:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

Secara intuisi, mengalikan sesuatu dengan $\frac{1}{2}$ sama artinya dengan mengambil setengah bagian dari nilai tersebut. Jika kita mengambil setengah bagian dari setengah kue, potongan kue yang tersisa tentu makin mengecil menjadi seperempat kue, bukan membesar.

Dalam soal, pecahan $\frac{a}{b}$ memenuhi syarat $0 < a < b$, yang artinya $\frac{a}{b}$ adalah pecahan murni positif dengan nilai di antara $0$ dan $1$. Karena nilainya berada di rentang tersebut, mengalikan pecahan dengan dirinya sendiri akan menghasilkan nilai yang lebih kecil dari asalnya:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^2 < \frac{a}{b}$$

Inilah alasan mengapa pernyataan pada Opsi B bernilai benar (SESUAI).

Diberikan bilangan desimal p = 0,8. Manakah dari pernyataan berikut yang benar mengenai hubungan nilai p dan p^2?

  • Nilai p^2 lebih besar dari p.
  • Nilai p^2 lebih kecil dari p.
  • Nilai p^2 sama dengan p.
  • Nilai p^2 tidak dapat ditentukan nilainya terhadap p.

Jawaban: Nilai p^2 lebih kecil dari p.

Bilangan p = 0,8 berada di rentang 0 < p < 1. Jika dikuadratkan, diperoleh p^2 = (0,8)^2 = 0,64, yang nilainya terbukti lebih kecil dari 0,8. Anggapan bahwa kuadrat selalu memperbesar nilai hanya berlaku saat bilangan lebih besar dari 1.

Sifat pemangkatan bilangan real positif antara 0 dan 1.

Invers Perkalian: Membalik Pecahan

Invers perkalian dari pecahan murni positif selalu menghasilkan bilangan yang lebih besar dari $1$.

Secara sederhana, invers perkalian dari suatu pecahan adalah kebalikan posisinya: pembilang dan penyebut bertukar tempat. Jika kita memiliki pecahan $\frac{a}{b}$, maka invers perkaliannya adalah $\frac{b}{a}$.

Mari kita uji dengan contoh angka nyata. Misalkan kita mengambil $2$ potong dari $5$ potong kue, yaitu $\frac{2}{5}$ (nilainya $0,4$, jelas kurang dari $1$). Jika pecahan ini dibalik menjadi $\frac{5}{2}$, nilainya menjadi $2,5$—yang nilainya melonjak jauh melebihi $1$.

Diagram aljabar langkah pembagian pertidaksamaan a kurang dari b menjadi 1 kurang dari b per a.

Bagaimana membuktikannya secara formal lewat aljabar simbolik? Kita mulai dari syarat yang diketahui pada soal, yaitu $a < b$ dengan $a$ dan $b$ bilangan positif.

  1. Tulis pertidaksamaan awal: $a < b$.

  2. Bagi kedua ruas dengan bilangan $a$. Karena diketahui $a > 0$ (positif), arah tanda ketaksamaan tidak berubah:

    $$\frac{a}{a} < \frac{b}{a}$$

  3. Sederhanakan ruas kiri menjadi $1$:

    $$1 < \frac{b}{a} \quad \text{atau} \quad \frac{b}{a} > 1$$

Hasil analisis menunjukkan bahwa nilai $\frac{b}{a}$ selalu lebih besar dari $1$. Pernyataan pada Opsi C menyebutkan bahwa $\frac{b}{a} < 1$, yang mana berlawanan dengan hasil yang kita peroleh. Oleh karena itu, pernyataan Opsi C bernilai salah (TIDAK SESUAI).

Diberikan x dan y bilangan bulat positif dengan x < y. Tentukan kebenaran pernyataan berikut berdasarkan manipulasi aljabar!

  • Nilai pecahan x/y berada di antara 0 dan 1. — Benar
  • Jika kita mengalikan kedua ruas x < y dengan 1/y, tandanya berbalik. — Salah

Pernyataan 1 Benar: Karena x dan y positif serta x < y, membagi kedua ruas dengan y menghasilkan 0 < x/y < 1. Pernyataan 2 Salah: Mengalikan atau membagi pertidaksamaan dengan bilangan positif (seperti 1/y dengan y > 0) tidak pernah membalik arah tanda pertidaksamaan.

Menentukan tanda pertidaksamaan invers pecahan murni menggunakan aljabar.

Menambah Pembilang dan Penyebut Bersamaan

Menambahkan angka positif yang sama pada pembilang dan penyebut pecahan murni akan memperbesar nilai pecahan tersebut.

Mari kita coba bayangkan situasi sederhana: kita memiliki pecahan murni $\frac{1}{2}$ (nilainya $0,5$). Jika pembilang dan penyebut sama-sama kita tambah $1$, kita memperoleh:

$$\frac{1 + 1}{2 + 1} = \frac{2}{3} \approx 0,67$$

Nilainya bergeser dari $0,5$ menjadi sekitar $0,67$, artinya pecahannya bertambah besar dan bergerak mendekati $1$.

Untuk membuktikan bahwa sifat ini berlaku untuk semua pecahan murni positif $\frac{a}{b}$, cara paling aman adalah memeriksa tanda hasil selisih antara $\frac{a+1}{b+1}$ dan $\frac{a}{b}$:

$$\frac{a+1}{b+1} - \frac{a}{b} = \frac{b(a+1) - a(b+1)}{b(b+1)}$$

Jika kita uraikan pembilangnya:

$$b(a+1) - a(b+1) = ab + b - ab - a = b - a$$

Sehingga bentuk selisihnya menjadi:

$$\frac{b - a}{b(b+1)}$$

Karena diketahui $0 < a < b$, maka nilai $b - a$ pasti bernilai positif ($b - a > 0$). Penyebutnya $b(b+1)$ juga bernilai positif karena $b > 0$. Bilangan positif dibagi bilangan positif menghasilkan nilai yang lebih besar dari $0$.

Karena selisihnya bernilai positif, terbukti bahwa:

$$\frac{a+1}{b+1} > \frac{a}{b}$$

Inilah alasan mengapa pernyataan pada Opsi A bernilai benar (SESUAI).