Misteri Dadu: Kenapa Kombinasi Saja Tidak Cukup?
Jebakan Dadu 'Kembar'
Keren banget kamu udah bisa nemuin 3 kombinasi angka yang kalau dijumlah hasilnya 7, yaitu: (1,1,1,4), (1,1,2,3), dan (1,2,2,2). Langkah awalmu ini udah 100% benar!
Tapi, kenapa jawaban akhirnya bukan $\frac{3}{324}$?
Masalahnya ada di cara kita memandang dadu. Waktu kamu menghitung total semua kemungkinan (ruang sampel) pakai rumus $6 \times 6 \times 6 \times 6 = 1296$, sadar nggak kalau perhitungan itu menganggap tiap dadu adalah objek yang berbeda? Karena aturannya begitu, saat kita mencari kejadian yang diharapkan (pembilang), kita juga wajib memperhatikan urutan/posisi dadunya.
Biar gampang dibayangin, anggap keempat dadu itu ibarat 4 kotak dengan warna beda: Merah, Kuning, Hijau, dan Biru.
Coba lihat kombinasi pertama: 1, 1, 1, dan 4. Kalau Dadu Merah yang dapat angka 4 (sisanya 1), kejadiannya bakal berbeda dengan kalau Dadu Biru yang dapat angka 4. Posisi angka 4 ini bisa berpindah-pindah antar dadu. Makanya, satu kombinasi angka seperti (1,1,1,4) sebenarnya mewakili lebih dari satu kejadian!
Berdasarkan logika dadu 'warna-warni' tadi, tentukan apakah pernyataan berikut Benar atau Salah!
- Karena penyebutnya 6^4, kita wajib membedakan dadu pertama, kedua, ketiga, dan keempat. — Benar
- Kombinasi (1,1,1,4) dan (4,1,1,1) dihitung sebagai 1 kejadian yang sama pada ruang sampel ini. — Salah
- Jika hasil dadunya (1,1,1,1), kombinasi ini memang hanya memiliki 1 kejadian karena posisinya ditukar pun tetap sama. — Benar
Ruang sampel 6^4 didapat dari kejadian terurut, sehingga kombinasi angka yang sama dengan posisi berbeda (misal 4 di awal vs 4 di akhir) dihitung sebagai kejadian yang berbeda. Kombinasi yang angkanya kembar semua (seperti 1,1,1,1) hanya punya 1 susunan, tidak bisa dipindah-pindah posisinya.
Ruang sampel dadu yang dipangkatkan (misal 6^n) mengasumsikan urutan kemunculan dadu diperhitungkan, sehingga pembilangnya harus dicari menggunakan permutasi susunan.
Rumus Cepat: Susunan Unsur Sama
Oke, kita udah sepakat kalau posisi angka di kombinasi (1,1,1,4) itu bisa diotak-atik. Pertanyaannya: masa kita harus ngegambar dadu warna-warni tiap ngerjain soal? Jelas capek!
Di sinilah Permutasi Unsur Sama jadi penyelamat. Ini adalah rumus cepat untuk ngitung ada berapa banyak cara nyusun posisi angka kalau ada angka yang "kembar".
Konsepnya simpel: kamu ambil total faktorial objek, lalu dibagi dengan faktorial dari jumlah objek yang kembar.
Mari kita buktikan di kombinasi (1,1,1,4):
Total dadu: Ada 4 dadu, berarti pembilangnya $4!$ (baca: 4 faktorial).
Angka kembar: Angka '1' muncul sebanyak 3 kali, berarti penyebutnya $3!$.
Tinggal kita hitung: $\frac{4!}{3!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 4$ kejadian.
Nah, terjawab kan? Kombinasi (1,1,1,4) itu diam-diam nyumbang 4 kejadian, bukan cuma 1!
Coba tes instingmu! Kalau kamu punya kombinasi angka (1, 1, 2, 5), ada berapa total kejadian pergeseran susunan yang bisa terbentuk?
- A. 4 kejadian
- B. 6 kejadian
- C. 12 kejadian
- D. 24 kejadian
Jawaban: C. 12 kejadian
Ada total 4 dadu (4!). Angka yang kembar adalah angka 5 (muncul 2 kali) dan angka 2 (muncul 2 kali). Rumusnya: 4! / (2! × 2!) = 24 / 4 = 6 kejadian. Eh tunggu, ini untuk (2,2,5,5). Di soal ini (1,1,2,5) -> Total 4 dadu, yang kembar hanya angka '1' (2 kali). Maka 4! / 2! = 24 / 2 = 12 kejadian.
Menerapkan rumus permutasi unsur sama untuk menghitung variasi susunan.
Mengeksekusi 3 Kombinasi
Sekarang kita udah punya alatnya (rumus permutasi unsur sama). Yuk kita hajar dua kombinasi sisanya yang udah kamu temukan tadi!
Kombinasi 2: (1, 1, 2, 3)
Total dadu ada 4, berarti $4!$.
Yang kembar cuma angka '1' (muncul 2 kali), berarti dibagi $2!$.
Eksekusi: $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ kejadian. (Wah, lumayan banyak ya! Karena angkanya lebih bervariasi, posisi bergesernya juga makin banyak).
Kombinasi 3: (1, 2, 2, 2)
Total dadu ada 4, berarti $4!$.
Yang kembar angka '2' (muncul 3 kali), berarti dibagi $3!$.
Eksekusi: $\frac{4!}{3!} = 4$ kejadian.
Sekarang kita kumpulin semua hasil panen kejadiannya: Total kejadian = $4 + 12 + 4 = 20$ kejadian.