Membongkar Segitiga Siku-Siku Sebangun
Satu Segitiga, Tiga Nyawa
Garis tinggi yang ditarik dari sudut siku-siku akan membelah segitiga utama menjadi dua segitiga kecil yang semuanya sebangun satu sama lain.
Bayangkan kamu sedang memegang cetak biru arsitektur sebuah atap berbentuk segitiga siku-siku $ABC$. Ketika kita menarik sebuah garis tinggi $CD$ dari titik sudut siku-siku $C$ lurus ke sisi miring $AB$, kita seolah sedang memotong cetak biru utama tersebut menjadi dua keping cetak biru mini: segitiga $ADC$ dan segitiga $BDC$.
Meskipun ukurannya mengecil, bentuk proporsional ketiga segitiga ini tidak berubah sama sekali. Mengapa? Karena ketiganya memiliki besar sudut yang identik:
Segitiga utama $ABC$ memiliki sudut siku-siku di $C$, segitiga $ADC$ siku-siku di $D$, dan segitiga $BDC$ juga siku-siku di $D$.
Segitiga kecil $ADC$ berbagi sudut $\angle A$ yang sama persis dengan segitiga $ABC$.
Segitiga kecil $BDC$ berbagi sudut $\angle B$ yang sama persis dengan segitiga $ABC$.
Perhatikan segitiga siku-siku yang dibelah oleh garis tinggi dari sudut siku-sikunya ke hipotenusa. Tentukan apakah pernyataan berikut Benar atau Salah!
- Semua segitiga yang terbentuk pasti memiliki setidaknya satu sudut siku-siku. — Benar
- Sudut lancip pada segitiga kecil pertama besarnya berbeda dengan salah satu sudut lancip di segitiga utama. — Salah
Pernyataan 1 Benar karena segitiga awal siku-siku di titik sudut atasnya dan garis tinggi selalu tegak lurus membentuk sudut siku-siku 90° di alas. Pernyataan 2 Salah karena kedua segitiga kecil tersebut sebangun dengan segitiga utama dan saling berbagi sudut lancip yang sama persis (sudut A dan sudut B).
Sudut-sudut bersesuaian pada segitiga hasil pembelahan garis tinggi memiliki besar yang sama dengan segitiga asalnya.
Jurus Memutar Segitiga
Untuk memetakan sisi yang bersesuaian tanpa bingung, putar dan hadapkan semua segitiga sebangun ke orientasi yang sama berdasarkan posisi sudut siku-sikunya.
Banyak kekeliruan terjadi bukan karena salah hitung, melainkan karena salah melihat sisi seletak saat segitiga masih dalam posisi miring atau terbalik. Kuncinya sederhana: jadikan titik siku-siku sebagai patokan utama. Letakkan sudut siku-siku di posisi yang sama (misalnya di sudut kiri bawah), lalu luruskan sisi alas dan tingginya.
Begitu ketiga cetak biru mini ini kamu sejajarkan menghadap ke arah yang sama, peran setiap sisi langsung terlihat terang benderang:
Sisi miring (hipotenusa): Pada segitiga besar adalah $AB$, pada segitiga kecil pertama adalah $AC$, dan pada segitiga kecil kedua adalah $BC$.
Sisi tegak: Garis tinggi $CD$ bertindak sebagai sisi tegak di satu segitiga mini, tetapi menjadi alas di segitiga mini lainnya.
Segitiga siku-siku $PQR$ memiliki sudut siku-siku di $R$. Garis tinggi $RS$ ditarik ke sisi miring $PQ$. Jika semua segitiga disejajarkan menghadap arah yang sama, sisi mana yang menjadi sisi miring pada segitiga menengah ($PSR$)?
- PQ
- PR
- RS
- PS
Jawaban: PR
Pada segitiga PSR, sudut siku-siku berada di titik S karena RS adalah garis tinggi. Sisi di hadapan sudut siku-siku S adalah PR, sehingga PR bertindak sebagai sisi miring (hipotenusa) pada segitiga PSR, sekaligus merupakan salah satu sisi penyiku pada segitiga besar PQR. Opsi PQ salah karena PQ adalah sisi miring segitiga terbesar. Opsi RS dan PS salah karena keduanya adalah sisi-sisi penyiku segitiga PSR.
Sisi miring pada segitiga kecil hasil pembelahan bersesuaian dengan sisi penyiku pada segitiga besar.
Menemukan Pola Penurunan Rumus
Rumus kuadrat sisi bersesuaian terbentuk secara otomatis dari perkalian silang proporsi dua segitiga yang sudah disejajarkan.
Setelah segitiga $ABC$ dan $ADC$ berada pada orientasi yang sama, kita bisa langsung membandingkan panjang sisi-sisi seletaknya. Kita ambil dua pasangan sisi: perbandingan sisi miring dan perbandingan sisi alas.
Perhatikan perbandingan sisi seletak antara segitiga besar $ABC$ dan segitiga kecil $ADC$:
$$\frac{\text{Sisi miring besar}}{\text{Sisi miring kecil}} = \frac{\text{Alas besar}}{\text{Alas kecil}} \implies \frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AD}$$
Lakukan perkalian silang pada pecahan tersebut:
$$AC \times AC = AD \times AB \implies AC^2 = AD \times AB$$
Dengan cara yang persis sama, bandingkan segitiga besar $ABC$ dengan segitiga kecil $BDC$:
$$\frac{\text{Sisi miring besar}}{\text{Sisi miring kecil}} = \frac{\text{Tinggi besar}}{\text{Tinggi kecil}} \implies \frac{AB}{BC} = \frac{BC}{BD}$$
$$BC^2 = BD \times AB$$