Bongkar Program Linear: Cari Nilai yang Hilang
Pagar Wilayah: Gambar Dulu Grafiknya
Daerah penyelesaian selalu bisa digambar dengan mencari titik potong sumbu $x$ dan $y$ dari persamaan garis pembatas.
Dalam Program Linear, kita mengoptimalkan nilai fungsi di bawah kendala batas-batas tertentu. Bayangkan setiap pertidaksamaan sebagai pagar wilayah. Daerah yang diarsir dan memenuhi semua pagar tersebut disebut Daerah Penyelesaian. Langkah awal untuk menggambar pagar adalah mengubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan terlebih dahulu.
Untuk garis $2x + y = 8$:
Saat $x = 0$, maka $y = 8 \implies (0, 8)$.
Saat $y = 0$, maka $2x = 8 \implies x = 4 \implies (4, 0)$.
Untuk garis $x + 2y = b$, meskipun nilai parameter $b$ belum kita ketahui, kita sudah bisa memetakan bentuk perpotongannya pada sumbu koordinat:
Saat $x = 0$, maka $y = \frac{b}{2} \implies (0, \frac{b}{2})$.
Saat $y = 0$, maka $x = b \implies (b, 0)$.
Karena soal menyertakan pembatas $x \ge 0$ dan $y \ge 0$, seluruh wilayah pengamatan kita terkunci di kuadran pertama (kanan atas sumbu koordinat). Tanda kurang dari sama dengan ($\le$) menandakan bahwa wilayah arsiran berada di bagian bawah atau sisi kiri dari garis pembatas menuju titik asal $(0, 0)$.
Grafik interaktif di atas menunjukkan bagaimana perubahan nilai parameter $b$ langsung menggeser garis pembatas $x + 2y = b$ dan mengubah bentuk poligon Daerah Penyelesaian. Perhatikan bahwa titik pertemuan antara kedua garis ikut bergeser saat $b$ berubah.
Pada sistem pertidaksamaan linear di kuadran pertama, ke arah manakah arsiran daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan $3x + 4y \le 12$?
- Ke arah bawah/kiri mendekati titik asal $(0, 0)$.
- Ke arah atas/kanan menjauhi titik asal $(0, 0)$.
- Ke arah kanan saja searah sumbu $x$ positif.
- Ke arah atas saja searah sumbu $y$ positif.
Jawaban: Ke arah bawah/kiri mendekati titik asal $(0, 0)$.
Uji titik asal $(0,0)$: substitusi menghasilkan $3(0) + 4(0) = 0 \le 12$ yang bernilai benar. Karena titik $(0,0)$ memenuhi pertidaksamaan, maka daerah penyelesaian diarsir ke arah titik asal $(0,0)$ (ke arah bawah/kiri garis). Pilihan yang menjauhi $(0,0)$ keliru karena mengira tanda kurang dari berarti menjauhi titik pusat.
Menentukan daerah arsiran yang benar dari tanda kurang dari sama dengan.
Cari Patok Titik Potong
Titik perpotongan dua garis bisa dicari dalam bentuk variabel dengan substitusi walau salah satu angkanya belum diketahui.
Sudut-sudut wilayah penyelesaian dibentuk oleh titik pojok, yang diibaratkan sebagai tiang patok di mana dua pagar bertemu. Pada soal ini, salah satu titik pojok yang krusial adalah titik potong antara garis $2x + y = 8$ dan garis $x + 2y = b$. Walaupun nilai $b$ belum diketahui, kita tetap dapat mencari koordinat $(x, y)$ secara tepat dengan metode substitusi aljabar biasa.
Mari kita isolasi salah satu variabel dari persamaan kedua:
$$x + 2y = b \implies x = b - 2y$$
Selanjutnya, gantikan nilai $x$ tersebut ke dalam persamaan garis pertama:
$$2(b - 2y) + y = 8$$
Berdasarkan alur substitusi di atas, langkah demi langkah penguraian aljabarnya berjalan sebagai berikut:
$$2b - 4y + y = 8 \implies -3y = 8 - 2b \implies y = \frac{2b - 8}{3}$$
Setelah nilai ordinat $y$ ditemukan, substitusikan kembali nilai $y$ ini ke persamaan $x = b - 2y$:
$$x = b - 2\left(\frac{2b - 8}{3}\right) = \frac{3b - 4b + 16}{3} = \frac{16 - b}{3}$$
Dengan demikian, koordinat titik potong kedua garis dinyatakan secara lengkap dalam parameter $b$ sebagai pasangan koordinat:
$$\left(\frac{16 - b}{3}, \frac{2b - 8}{3}\right)$$
Titik Potong = Titik Maksimum
Nilai maksimum fungsi tujuan tercapai di salah satu titik pojok dari daerah penyelesaian.
Dalam Program Linear, prinsip nilai optimum menyatakan bahwa nilai terbesar atau terkecil dari suatu Fungsi Tujuan pada daerah tertutup selalu terletak di tiang patok alias Titik Pojok. Empat titik pojok yang membatasi daerah penyelesaian kita adalah $(0, 0)$, $(4, 0)$, $(0, \frac{b}{2})$, dan titik potong $\left(\frac{16 - b}{3}, \frac{2b - 8}{3}\right)$.
Soal memberikan informasi bahwa Fungsi Tujuan $f(x, y) = x + y$ memiliki nilai maksimum sama dengan $5$. Jika kita menguji titik asal $(0, 0)$, nilainya adalah $f(0, 0) = 0 + 0 = 0$. Hal ini langsung membuktikan bahwa Pernyataan V salah, karena nilai minimum pada himpunan penyelesaian adalah $0$, bukan $1$.
Sekarang, mari kita evaluasi nilai fungsi tujuan pada titik potong kedua garis:
$$f\left(\frac{16 - b}{3}, \frac{2b - 8}{3}\right) = \frac{16 - b}{3} + \frac{2b - 8}{3} = \frac{8 + b}{3}$$
Karena titik potong ini memberikan nilai optimum tertinggi yaitu $5$, kita dapat menyamakan bentuk variabelnya secara mundur:
$$\frac{8 + b}{3} = 5 \implies 8 + b = 15 \implies b = 7$$
Perhitungan aljabar mundur ini membuktikan secara langsung bahwa Pernyataan I benar, yaitu nilai parameter $b$ yang memenuhi kondisi tersebut adalah $7$.