Eksponensial: Pemodelan & Syarat Batas

Menerjemahkan Syarat Menjadi Pertidaksamaan

Kondisi bersyarat dalam narasi soal perlu ditranskripsikan ke dalam bentuk pertidaksamaan matematika sebelum mulai menghitung populasi. Banyak kesalahan bermula dari ketidakjelasan dalam menentukan daerah angka mana yang sebenarnya dicari.

Mari kita bedah dua pernyataan batasan yang diberikan:

Batas bawah (kondisi stabil): Jumlah sel harus lebih dari $1200$. Dalam simbol matematika, ini ditulis sebagai $N > 1200$.
Batas atas (kondisi terlalu padat): Kultur terlalu padat jika jumlah sel melebihi $2000$. Syarat yang diminta soal adalah populasi belum perlu dipindahkan, yang merupakan kebalikan dari kondisi melebihi $2000$. Artinya, jumlah sel tidak boleh melebihi $2000$, atau secara matematis ditulis $N \le 2000$.

Menggabungkan kedua batas tersebut menghasilkan satu rentang nilai yang menjadi acuan pengujian:

$$1200 < N \le 2000$$

Rentang matematis inilah yang menjadi filter mutlak untuk setiap hasil perhitungan. Jika suatu opsi berada di luar rentang ini—misalnya Opsi E yang populasinya kelak mencapai lebih dari $2000$—maka opsi tersebut otomatis gugur karena sudah melewati ambang kepadatan media.

Sebuah mesin bekerja optimal jika tekanannya di atas 40 atm, namun akan rusak jika tekanannya melewati 90 atm. Manakah bentuk pertidaksamaan yang tepat untuk menyatakan rentang tekanan ($P$) agar mesin tetap aman dan optimal?

$40 < P \le 90$
$40 \le P < 90$
$40 < P < 90$
$P > 40\text{ dan }P > 90$

Jawaban: $40 < P \le 90$

Kondisi 'di atas 40' berarti $P > 40$ (tanda ketat tanpa sama dengan). Kondisi 'tidak melewati 90' berarti tekanan boleh bernilai 90 tetapi tidak boleh lebih, sehingga $P \le 90$. Jika digabungkan, rentang yang aman dan optimal adalah $40 < P \le 90$.

Menerjemahkan batas minimum dan batas maksimum dari narasi menjadi pertidaksamaan ganda.

Memodelkan Iterasi Eksponensial Pertama

Pertumbuhan berpersentase konstan dihitung dengan mengalikan nilai sebelumnya dengan suatu faktor pengali tetap, bukan menambahkan jumlah awal secara linear.

Laju pertumbuhan yang diberikan adalah bertambah $30\%$ setiap interval $2$ jam. Jumlah sel baru adalah $100\%$ jumlah lama ditambah $30\%$ penambahan:

$$\text{Faktor pengali} = 100\% + 30\% = 130\% = 1{,}3$$

Pada pukul 06.00, populasi awal tercatat $500$ sel. Pertumbuhan yang terjadi bersifat eksponensial, di mana setiap kelipatan $2$ jam dikalikan dengan $1{,}3$:

Diagram alir iterasi pertumbuhan dari populasi 500 sel pada pukul 06.00 hingga 845 sel pada pukul 10.00 dengan faktor pengali 1,3.

Diagram di atas memperlihatkan langkah awal perhitungan bertahap:

Pukul 08.00 (interval ke-1): $500 \times 1{,}3 = 650$ sel.
Pukul 10.00 (interval ke-2, Opsi A): $650 \times 1{,}3 = 845$ sel.

Sebuah modal investasi senilai Rp2.000.000 bertumbuh sebesar 10% setiap tahunnya. Berapakah nilai investasi tersebut pada akhir tahun ke-2?

Rp2.200.000
Rp2.420.000
Rp2.400.000
Rp4.400.000

Jawaban: Rp2.420.000

Faktor pengali untuk pertumbuhan 10% adalah $1 + 0{,}10 = 1{,}1$. Pada akhir tahun ke-1, nilai investasi menjadi $2.000.000 \times 1{,}1 = 2.200.000$. Pada akhir tahun ke-2, nilai tersebut kembali dikalikan $1{,}1$, sehingga menjadi $2.200.000 \times 1{,}1 = 2.420.000$. Opsi Rp2.400.000 keliru karena menganggap pertambahan bersifat linear (hanya menambah 200.000 tiap tahun).

Perhitungan pertumbuhan eksponensial diskret menggunakan perkalian faktor pengali secara berulang.

Meneruskan Tabel Proyeksi dan Evaluasi

Menyusun sisa iterasi ke dalam data komprehensif memudahkan kita mengecek opsi mana saja yang benar-benar masuk dalam batas kondisi.

Melanjutkan perkalian berulang dari pukul 10.00 ($845$ sel), kita dapat memproyeksikan populasi untuk jam-jam berikutnya:

Pukul 12.00 (Opsi B): $845 \times 1{,}3 = 1098{,}5$ sel. Nilai ini mendekati batas stabil, namun karena $1098{,}5 \le 1200$, kultur belum memenuhi kriteria stabil. Maka Opsi B salah.
Pukul 14.00 (Opsi C): $1098{,}5 \times 1{,}3 = 1428{,}05 \approx 1428$ sel. Karena $1200 < 1428 \le 2000$, kondisi ini memenuhi syarat. Maka Opsi C benar.
Pukul 16.00 (Opsi D): $1428{,}05 \times 1{,}3 = 1856{,}465 \approx 1856$ sel. Nilai ini masih berada di bawah $2000$ dan di atas $1200$. Maka Opsi D benar.
Pukul 18.00 (Opsi E): $1856{,}465 \times 1{,}3 = 2413{,}4045 \approx 2413$ sel. Karena $2413 > 2000$, kultur sudah terlalu padat dan harus segera dipindahkan. Maka Opsi E salah.

Grafik garis kurva eksponensial populasi mikroorganisme dari pukul 06.00 hingga 18.00 terhadap batas stabil 1200 dan batas padat 2000.

Grafik di atas memvisualisasikan bagaimana kurva eksponensial melintasi koridor daerah stabil $1200 < N \le 2000$. Terlihat jelas bahwa hanya titik pada pukul 14.00 dan 16.00 yang mendarat di dalam rentang yang diinginkan.

Data proyeksi suhu suatu reaktor nuklir adalah: Jam 1 bernilai 300 K, Jam 2 bernilai 450 K, Jam 3 bernilai 675 K, dan Jam 4 bernilai 1012,5 K. Reaktor dinyatakan bekerja wajar jika suhunya berada di atas 400 K namun tidak lebih dari 700 K. Manakah pernyataan berikut yang bernilai benar?

Pada Jam 2, reaktor bekerja wajar.
Pada Jam 3, reaktor bekerja wajar.
Pada Jam 4, reaktor belum mencapai kondisi maksimalnya.

Jawaban: Pada Jam 2, reaktor bekerja wajar.; Pada Jam 3, reaktor bekerja wajar.

Rentang kerja wajar adalah $400 < T \le 700$. Pada Jam 2, suhunya 450 K (memenuhi karena $400 < 450 \le 700$). Pada Jam 3, suhunya 675 K (memenuhi karena $400 < 675 \le 700$). Pernyataan ketiga salah karena pada Jam 4 suhunya mencapai 1012,5 K, yang artinya sudah melampaui batas maksimum 700 K, bukan 'belum mencapai'.

Mengevaluasi nilai hasil fungsi diskret terhadap batas rentang pertidaksamaan ganda.