Membongkar Polinomial via Porogapit

Porogapit Versi Aljabar

Struktur pembagian polinomial menggunakan rumus dasar yang sama persis dengan pembagian angka biasa.

Waktu belajar pembagian bersusun di SD, saat $17$ dibagi $5$, kita mendapatkan hasil bagi $3$ dan sisa $2$. Hubungan ini selalu dituliskan sebagai:

$$\text{Yang Dibagi} = (\text{Pembagi} \times \text{Hasil Bagi}) + \text{Sisa}$$

$$17 = 5 \times 3 + 2$$

Diagram perbandingan pembagian angka biasa vs pembagian polinomial aljabar.

Di aljabar, prinsip itu tidak berubah sama sekali. Jika suatu suku banyak $f(x)$ dibagi oleh $P(x)$, maka berlaku identitas pembagian:

$$f(x) = P(x) \cdot H(x) + S(x)$$

Komponen-komponennya saling berkorespondensi langsung:

Hati-hati Membagi Pangkat

Derajat dari hasil bagi diperoleh dengan mengurangkan derajat polinomial yang dibagi dengan derajat pembagi, bukan membaginya.

Saat membagi variabel berpangkat, aturan eksponen yang berlaku adalah pengurangan pangkat: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m - n}$. Sering kali muncul jebakan ketika derajat $4$ dibagi derajat $2$ menghasilkan derajat $2$, karena siswa mengira pangkatnya dibagi secara aritmetika ($4 \div 2 = 2$). Padahal itu hanya kebetulan!

Sebagai bukti pencegahan, bayangkan jika suatu polinomial berderajat $6$ dibagi oleh polinomial berderajat $2$. Hasil baginya berderajat $6 - 2 = 4$, sama sekali bukan derajat $6 \div 2 = 3$.

Karena pada soal suku banyak $f(x)$ berderajat $4$ dan pembagi $P(x) = x^2 - x + 2$ berderajat $2$, maka hasil bagi $H(x)$ pasti memiliki derajat $4 - 2 = 2$. Selain itu, karena koefisien suku tertinggi $f(x)$ adalah $1$ dan koefisien suku tertinggi $P(x)$ juga $1$, suku pertama dari $H(x)$ pasti $x^2$. Oleh karena itu, kita dapat memisalkan bentuk umum hasil bagi secara lengkap:

$$H(x) = x^2 + px + q$$

Sebuah polinomial berderajat 7 dibagi dengan sebuah polinomial yang berderajat 3. Berapakah pangkat tertinggi (derajat) dari hasil baginya?

  • Pangkat 2.3
  • Pangkat 4
  • Pangkat 10
  • Pangkat 3

Jawaban: Pangkat 4

Sesuai sifat perpangkatan dalam pembagian aljabar x^m / x^n = x^(m-n), derajat hasil bagi diperoleh dengan mengurangkan derajat pembagi dari derajat yang dibagi: 7 - 3 = 4. Opsi A keliru karena membagi derajat (7 ÷ 3), Opsi C keliru karena menjumlahkannya (7 + 3), dan Opsi D keliru karena menyamakan dengan derajat pembagi.

Derajat hasil bagi polinomial diperoleh dari selisih derajat yang dibagi dengan derajat pembagi.

Jurus Kesamaan Koefisien

Jika dua polinomial dianggap sama, maka koefisien untuk setiap suku yang pangkat $x$-nya sama haruslah bernilai sama. Konsep ini dinamakan kesamaan polinomial.

Setelah menetapkan bentuk umum $H(x) = x^2 + px + q$, substitusikan semua komponen ke dalam identitas pembagian dasar:

$$f(x) = (x^2 - x + 2)(x^2 + px + q) + (3x - 1)$$

Sekarang kita lakukan perkalian distributif pada suku pembagi dan hasil bagi secara bertahap:

$$\begin{aligned} (x^2 - x + 2)(x^2 + px + q) &= x^2(x^2 + px + q) - x(x^2 + px + q) + 2(x^2 + px + q) \\ &= (x^4 + px^3 + qx^2) - (x^3 + px^2 + qx) + (2x^2 + 2px + 2q) \end{aligned}$$

Jangan lupakan sisa pembagian $S(x) = 3x - 1$. Tambahkan sisa ini ke hasil perkalian di atas:

$$\begin{aligned} f(x) &= x^4 + (p - 1)x^3 + (q - p + 2)x^2 + (2p - q)x + 2q + (3x - 1) \\ &= x^4 + (p - 1)x^3 + (q - p + 2)x^2 + (2p - q + 3)x + (2q - 1) \end{aligned}$$

Ruas kanan kini sudah tersusun rapi menurut urutan pangkat $x$, siap untuk disandingkan langsung dengan suku banyak $f(x)$ pada soal.