Menaklukkan 3 Variabel: Strategi Eliminasi

Apa Sih Artinya 3 Persamaan?

Pernah nggak kamu bingung waktu ngelihat deretan persamaan panjang kayak gini dan mikir, "Ini sebenernya angka-angka acak yang disuruh hitung aja atau ada maksudnya?"

Biar nggak ngerasa kayak lagi ngarang jawaban, kita mulai dari akar konsepnya.

Di dunia matematika, satu persamaan linier dengan tiga variabel (seperti $3x + 2y - z = 23$) itu bukan cuma tulisan di kertas. Kalau kita gambarkan di ruang 3 dimensi (3D), persamaan itu bentuknya adalah sebuah bidang datar (bayangkan selembar kaca datar tanpa batas).

Karena di soal kita punya 3 persamaan, berarti kita punya 3 bidang datar.

Tujuan utama kita nyelesaiin Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel (SPLTV) adalah mencari satu titik persis di mana ketiga kaca tersebut saling berpotongan atau menusuk satu sama lain. Titik potong itulah yang jadi koordinat $(x, y, z)$ kita.

Dengan kata lain, kita mencari satu paket nilai $x$, $y$, dan $z$ yang kalau dimasukkan ke persamaan mana pun, hasilnya selalu benar. Nah, gimana cara nyari titik itu tanpa pusing? Intinya adalah menyederhanakan masalah: dari 3 variabel, kita turunkan jadi 2 variabel, lalu 1 variabel.

Secara visual, apa yang sebenarnya sedang kita cari ketika kita menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel (SPLTV)?

  • A. Mencari tiga titik berbeda yang masing-masing memenuhi satu persamaan.
  • B. Mencari satu titik (x, y, z) di mana ketiga bidang saling berpotongan.
  • C. Menggabungkan ketiga bidang agar menjadi satu bidang yang lebih besar.
  • D. Menghitung luas area yang dibentuk oleh ketiga bidang tersebut.

Jawaban: B. Mencari satu titik (x, y, z) di mana ketiga bidang saling berpotongan.

Masing-masing persamaan mewakili satu bidang. Menyelesaikan SPLTV berarti mencari satu titik spesifik yang dilewati oleh ketiga bidang tersebut secara bersamaan.

Tujuan SPLTV adalah menemukan satu titik perpotongan (x,y,z) dari ketiga bidang persamaan.

Strategi Lapis demi Lapis

Langkah pertama yang sering bikin ragu: "Dari mana mulainya?"

Rahasia utamanya adalah jangan pernah mencoba menyelesaikan ketiga persamaan sekaligus! Mindset kita harus memecah masalah besar ini jadi pasangan-pasangan kecil.

Gini polanya:

  1. Kita punya 3 persamaan. Pilih dua pasang persamaan yang berbeda (misalnya, Persamaan 1 dipasangin sama 2, lalu Persamaan 2 dipasangin sama 3).

  2. Tentukan SATU variabel yang angkanya paling "ramah" (misalnya angkanya kecil, atau udah ada plus-minusnya) untuk dijadikan target operasi (dihilangkan alias dieliminasi).

Inti dari taktik ini adalah mengubah wujud soal. Dari yang awalnya mengerikan (3 persamaan dengan 3 variabel), berubah menjadi sesuatu yang lebih familiar: 2 persamaan dengan 2 variabel saja (SPLDV).

Apa yang terjadi kalau di Pasangan 1 kamu mengeliminasi variabel 'y', tapi di Pasangan 2 kamu malah mengeliminasi variabel 'x'?

  • A. Karena x adalah huruf pertama dalam alfabet, jadi harus diutamakan.
  • B. Boleh-boleh saja, nanti kita bisa langsung menemukan nilai y.
  • C. Kita akan terjebak! Hasilnya malah dapat dua persamaan dengan variabel yang berbeda-beda, bukan SPLDV yang bisa diselesaikan.
  • D. Itu adalah cara yang paling tepat untuk menyelesaikan soal SPLTV dengan cepat.

Jawaban: C. Kita akan terjebak! Hasilnya malah dapat dua persamaan dengan variabel yang berbeda-beda, bukan SPLDV yang bisa diselesaikan.

Kalau di pasangan pertama kita buang 'y' (sisa x, z) tapi di pasangan kedua kita buang 'x' (sisa y, z), kita tidak akan bisa mengeliminasi mereka berdua selanjutnya karena variabelnya tidak cocok!

Kita wajib mengeliminasi variabel yang sama pada kedua pasangan persamaan agar tersisa 2 persamaan dengan 2 variabel yang sama.

Eksekusi: Membasmi Variabel Pertama

Yuk kita terapkan strateginya ke soal kita! Kita punya: (1) $3x + 2y - z = 23$ (2) $2x - y + 3z = 1$ (3) $x + y + z = 6$

Kalau kita observasi, variabel $y$ punya koefisien $+2$, $-1$, dan $+1$. Ini sangat ramah buat dieliminasi karena gampang disamakan! Jadi, kita jadikan $y$ sebagai target.

Pasangan Pertama: Persamaan (2) dan (3) Lihat betapa cantiknya angkanya. Persamaan (2) punya $-y$, persamaan (3) punya $+y$. Kalau langsung dijumlahkan, $y$ otomatis lenyap! $(2x - y + 3z) + (x + y + z) = 1 + 6$ Hasilnya: $3x + 4z = 7$ (Sebut ini Persamaan A)

Pasangan Kedua: Persamaan (1) dan (2) Persamaan (1) punya $+2y$, sedangkan persamaan (2) punya $-y$. Biar $y$ bisa hilang saat dijumlahkan, koefisien $y$ di persamaan (2) harus dikalikan sesuatu biar jadi $-2y$.

Coba mainkan komponen di bawah ini buat ngelihat gimana cara menyeimbangkan koefisiennya!

Setelah kamu atur biar pas, persamaan (2) dikalikan $2$, lalu dijumlah dengan persamaan (1), menghasilkan: $7x + 5z = 25$ (Sebut ini Persamaan B).

Sekarang, variabel $y$ sudah resmi musnah! Kita cuma perlu menyelesaikan Persamaan A dan B yang wujudnya cuma punya 2 variabel (x dan z).