Membedah Sifat Ganjil-Genap Lewat Aljabar
Mendefinisikan Ulang Genap dan Ganjil
Ketika kita mendengar kata genap dan ganjil, intuisi awal kita biasanya adalah melihat digit terakhirnya atau membagi benda menjadi dua kelompok sama rata. Namun, dalam aljabar tingkat lanjut, intuisi tersebut dirumuskan ke dalam bentuk yang jauh lebih tegas dan terukur.
Berdasarkan algoritma pembagian bilangan bulat (Division Algorithm), setiap bilangan bulat $n$ jika dibagi $2$ hanya memiliki dua kemungkinan sisa: $0$ atau $1$.
Bilangan Genap: Habis dibagi $2$ (sisa $0$). Bentuk umumnya adalah kelipatan dua:
Bilangan Ganjil: Selalu bersisa $1$ jika dibagi $2$. Bentuk umumnya adalah:
Mengapa notasi aljabar ini sangat penting? Menguji angka satu per satu (misalnya mengambil $k = 3$ dan $m = 2$) memang cepat, tetapi tidak memberi garansi mutlak untuk semua kemungkinan bilangan. Dengan menuliskan $k = 2a+1$ dan $m = 2b$, kita memegang rumus umum yang berlaku untuk seluruh bilangan bulat positif di semesta matematika.
Jika $c$ adalah bilangan bulat sembarang dan $n = 6c + 5$, pernyataan mana yang paling tepat mengenai paritas $n$?
- n selalu merupakan bilangan genap untuk semua nilai integer c.
- n tidak dapat dipastikan paritasnya karena bergantung pada nilai c.
- n selalu merupakan bilangan ganjil karena dapat dinyatakan sebagai 2(3c + 2) + 1.
- n selalu merupakan kelipatan 4 karena memiliki koefisien 6 di suku pertamanya.
Jawaban: n selalu merupakan bilangan ganjil karena dapat dinyatakan sebagai 2(3c + 2) + 1.
Faktorkan suku dengan angka 2: $6c + 5 = 6c + 4 + 1 = 2(3c + 2) + 1$. Karena berbentuk $2k + 1$ dengan $k = (3c+2)$ berupa bilangan bulat, $n$ pasti bilangan ganjil.
Bentuk umum bilangan ganjil selalu bersisa 1 jika difaktorkan kelipatan 2.
Perkalian: Siapa yang Dominan?
Ada jebakan umum saat memikirkan perkalian antara ganjil dan genap: sering kali timbul anggapan bahwa sifat "ganjil" akan bertahan atau mendominasi hasil kali. Mari kita buktikan secara aljabar untuk melihat apa yang sebenarnya terjadi pada Opsi A ($k \times m$).
Kita substitusikan bentuk umum $k = 2a + 1$ dan $m = 2b$:
Lakukan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan:
Perhatikan bahwa kedua suku ($4ab$ dan $2b$) sama-sama memiliki faktor $2$. Sekarang, faktorkan angka $2$ ke luar kurung:
Karena $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif, maka nilai di dalam kurung $(2ab + b)$ juga merupakan bilangan bulat. Bentuk akhir ini tepat memenuhi definisi $2 \times (\text{bilangan bulat})$, yang berarti hasilnya selalu genap.
Diberikan tiga bilangan bulat positif: $x$ ganjil, $y$ genap, dan $z$ ganjil. Apakah paritas dari hasil kali $x \cdot y \cdot z$?
- Selalu ganjil, karena x dan z adalah bilangan ganjil yang mengapit y.
- Selalu genap, karena faktor 2 dari y akan melipatgandakan seluruh hasil kali.
- Bisa ganjil atau genap, tergantung apakah nilai x lebih besar dari y.
- Selalu ganjil, jika hasil penjumlahan (x + z) menghasilkan bilangan genap.
Jawaban: Selalu genap, karena faktor 2 dari y akan melipatgandakan seluruh hasil kali.
Karena $y$ genap ($y = 2b$), perkalian $x \cdot y \cdot z = x \cdot (2b) \cdot z = 2(x \cdot b \cdot z)$. Munculnya faktor $2$ memastikan hasil kali ketiganya pasti genap.
Keberadaan satu saja faktor genap dalam perkalian menghasilkan bilangan genap.
Pembuktian Ganjil dan Kuadrat
Sekarang, mari kita bedah Opsi B: $k^2 + m$. Dari pengamatan dasar, mengalikan bilangan ganjil dengan dirinya sendiri selalu menghasilkan bilangan ganjil (misal $3^2 = 9$ atau $5^2 = 25$). Namun, bagaimana struktur aljabar formalnya ketika dijumlahkan dengan bilangan genap $m$?
Substitusikan $k = 2a + 1$ dan $m = 2b$:
Jabarkan kuadrat binomial $(2a + 1)^2$:
Lalu tambahkan dengan $m = 2b$:
Kelompokkan semua suku yang memiliki koefisien kelipatan $2$:
Keluarkan faktor persekutuan $2$ dari kelompok tersebut:
Misalkan $P = 2a^2 + 2a + b$. Karena $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif, maka $P$ pastilah bilangan bulat. Bentuk ekspresi ini berubah menjadi:
Sesuai definisi baku aritmetika, bentuk $2P + 1$ adalah definisi mutlak dari bilangan ganjil. Konstanta $+1$ di ujung ekspansi tidak akan pernah bisa ditarik masuk ke dalam faktor $2$.
Jika $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat sembarang, bagaimanakah paritas dari bentuk aljabar $(2p + 1)^2 + 4q$?
- Selalu ganjil, karena dapat dinyatakan dalam bentuk 2(2p^2 + 2p + 2q) + 1.
- Selalu genap, karena suku 4q mendominasi paritas hasil akhir penjumlahan.
- Bisa ganjil atau genap, tergantung apakah nilai p merupakan bilangan prima.
- Selalu genap, karena kuadrat dari bilangan ganjil ditambah bilangan kelipatan 4.
Jawaban: Selalu ganjil, karena dapat dinyatakan dalam bentuk 2(2p^2 + 2p + 2q) + 1.
$(2p+1)^2 + 4q = (4p^2 + 4p + 1) + 4q = 2(2p^2 + 2p + 2q) + 1$. Karena berbentuk $2K + 1$ dengan $K$ bilangan bulat, hasilnya dipastikan selalu ganjil.
Kuadrat bilangan ganjil selalu bersisa 1 modulo 4 (atau modulo 8), sehingga ditambah genap selalu ganjil.