Misteri Angka Satuan Pangkat Raksasa
Fokus pada Ekornya Saja
Melihat soal mencari ujung atau angka satuan dari $7^{2026}$ memang bikin kaget kalau bayangannya harus mengalikan 7 sebanyak 2026 kali. Namun, tenang saja! Ada satu aturan emas dalam perkalian: angka satuan dari sebuah hasil perkalian HANYA dipengaruhi oleh angka satuannya saja.
Kamu tidak perlu mempedulikan angka di depan. Ujung dari $17 \times 17$ pasti sama dengan ujung dari $7 \times 7$.
Mari kita lihat apa yang terjadi kalau kita pangkatkan 7 terus-menerus dan fokus pada ekornya saja:
$7^1 = 7$ (ujungnya 7)
$7^2 = 49$ (ujungnya 9)
$7^3 = \dots 3$ (karena $9 \times 7 = 63$, ujungnya 3)
$7^4 = \dots 1$ (karena $3 \times 7 = 21$, ujungnya 1)
$7^5 = \dots 7$ (karena $1 \times 7 = 7$, lho, balik lagi ke awal!)
Karena diputar terus dengan perkalian 7, angka satuannya akan selalu berulang dalam urutan 7, 9, 3, 1. Kelompok angka yang berulang ini disebut siklus, dan karena ada 4 angka yang bergiliran, kita sebut panjang siklusnya adalah 4.
Berdasarkan pola yang kita temukan, angka satuan dari $7^5$ pasti sama dengan angka satuan dari...
- A. $7^1$
- B. $7^2$
- C. $7^3$
- D. $7^4$
Jawaban: A. $7^1$
Karena pola berulang setiap 4 kali, angka satuan akan kembali ke awal (urutan pertama) setelah 4 langkah. Jadi $7^5$ sama ekornya dengan $7^1$.
Siklus angka satuan dari pangkat 7 berulang setiap 4 kali, sehingga pangkat yang berselisih kelipatan 4 memiliki angka satuan yang sama.
Mesin Waktu Bernama Sisa Pembagian
Sekarang kita tahu polanya berulang tiap 4 kali. Tapi bagaimana cara cepat melompat ke urutan ke-$2026$?
Gunakan sisa pembagian! Bayangkan pola ini seperti hari dalam seminggu (panjang siklus 7 hari). Jika hari ini Senin, hari apa 10 hari lagi? Kita bagi 10 dengan 7, dapat 1 sisa 3. Artinya, waktu telah berputar 1 minggu penuh, lalu maju 3 hari lagi. Jatuhnya di hari Kamis.
Konsep yang sama persis berlaku untuk pangkat $2026$. Karena panjang putaran (siklus) angka 7 adalah 4, kita "buang" semua putaran penuhnya dengan membagi $2026$ dengan $4$.
Mari kita hitung: $2026 \div 4 = 506$ dengan sisa 2.
Angka $506$ berarti roda 7-9-3-1 telah berputar penuh tanpa henti sebanyak 506 kali. Karena putaran penuh selalu kembali ke titik awal, kita cukup abaikan angka ini. Yang jadi pahlawan kita adalah sisa 2. Artinya, dari titik awal, roda kita melangkah sebanyak 2 posisi lagi.
Dalam perhitungan $2026 \div 4 = 506$ sisa $2$, apa makna dari angka $506$ terhadap pola angka satuan?
- A. Menentukan hasil akhir perpangkatan
- B. Menunjukkan angka satuan dari soal tersebut
- C. Menunjukkan ada berapa sisa angka yang tidak memiliki pola
- D. Menunjukkan jumlah putaran penuh (siklus) yang terlewati dan diabaikan
Jawaban: D. Menunjukkan jumlah putaran penuh (siklus) yang terlewati dan diabaikan
Angka 506 adalah hasil bagi. Ini berarti siklus (7,9,3,1) telah berputar tuntas 506 kali. Karena setiap putaran penuh kembali ke titik yang sama, kita bisa mengabaikannya dan hanya fokus pada sisa (2 langkah terakhir).
Hasil bagi menunjukkan jumlah putaran penuh yang dibuang, sedangkan sisa pembagian menentukan posisi akhir dalam siklus.
Menerjemahkan Sisa Menjadi Jawaban
Kita sudah mengantongi sisa pembagian, yaitu 2. Langkah terakhir adalah menerjemahkan sisa ini secara spesifik ke dalam urutan pola kita.
Cara menyambungkannya sangat mudah. Kamu cukup cocokkan nilai sisa dengan urutan angkanya:
Sisa 1 = Angka pada urutan ke-1.
Sisa 2 = Angka pada urutan ke-2.
Sisa 3 = Angka pada urutan ke-3.
Karena sisa pembagian untuk $7^{2026}$ adalah 2, maka angka satuan kita akan berhenti tepat di urutan ke-2, yaitu 9. Dan yup, itu dia jawabannya!
Berapakah angka satuan dari $7^{2024}$?
- A. Angka satuannya adalah 0
- B. Angka satuannya adalah urutan pertama (7)
- C. Angka satuannya adalah urutan terakhir (1)
- D. Soal tidak bisa dikerjakan
Jawaban: C. Angka satuannya adalah urutan terakhir (1)
Pangkat 2024 habis dibagi 4 (sisa 0). Ini menandakan siklus pas berputar penuh tanpa sisa, sehingga posisi akhirnya tepat di urutan terakhir siklus, yaitu 1.
Sisa pembagian 0 berarti putaran siklus tepat berakhir di angka terakhir (urutan ke-4) dari pola tersebut.