Bongkar Peluang Pakai Analogi Gacha
Menerjemahkan Syarat Soal
Bayangkan layanan streaming musik ini seperti mesin gacha. Di dalamnya ada 10 kapsul: 6 kapsul biru (lagu Pop) dan 4 kapsul merah (lagu Rock). Sistem akan menarik 3 kapsul sekaligus secara acak buat dimasukin ke playlist kamu.
Di soal, dibilang kita mau playlist yang isinya "tepat 2 lagu Pop".
Artinya, target komposisi kita jelas: kita mencari peluang mendapatkan 2 Pop DAN 1 Rock. Sering banget soal peluang ngecoh dengan cuma nyebutin salah satu syarat, padahal sisa slotnya otomatis keisi sama kategori lain yang tersisa.
Jika dari 10 lagu (Pop dan Rock) kita membuat playlist 4 lagu, dan soal meminta 'tepat 3 lagu Rock', apa komposisi sebenarnya dari playlist tersebut?
- A. 3 Rock dan 1 Pop
- B. 3 Rock dan 2 Pop
- C. 4 Rock
- D. 3 Pop dan 1 Rock
Jawaban: A. 3 Rock dan 1 Pop
Karena total ada 4 lagu dan 3 di antaranya Rock, sisa 1 slot pasti diisi oleh lagu Pop.
Sisa slot dari total yang diambil akan secara otomatis diisi oleh kategori lainnya.
Kombinasi: Kenapa Urutan Nggak Penting?
Sekarang kita butuh alat matematika buat ngitung banyaknya cara milih kapsul-kapsul tadi. Ada dua alat yang sering bikin bingung: Permutasi dan Kombinasi.
Di aplikasi musik, entah sistem masukin lagu "Terlalu Lama Sendiri" lalu "Hati-Hati di Jalan", atau sebaliknya, isi playlist-mu tetep dua lagu itu, kan? Karena urutannya nggak ngubah isi keranjang, kita harus 'memangkas' hitungan ganda tersebut biar nggak dihitung dua kali.
Itulah fungsi dari rumus Kombinasi: $C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$. Simbol faktorial ($!$) di bagian bawah itu bertugas membagi habis urutan-urutan yang berulang.
Tentukan apakah situasi berikut menggunakan Kombinasi atau bukan!
- Memilih 3 topping berbeda untuk sebuah pizza. — Kombinasi
- Menyusun 3 huruf menjadi sebuah password. — Bukan Kombinasi
Topping pizza tidak peduli urutan (Sosis + Jamur = Jamur + Sosis), jadi Kombinasi. Password sangat peduli urutan (ABC berbeda dengan BCA), jadi Permutasi.
Kombinasi digunakan saat urutan kemunculan tidak membedakan hasil akhir.
Menghitung Dunia Target vs Total Dunia
Buat nyari peluang, kita harus ngitung dua hal: Semua kemungkinan yang bisa terjadi (Total Dunia) dan Kemungkinan yang kita mau (Dunia Target).
Total Dunia ($n(S)$): Memilih sembarang 3 lagu dari 10 lagu yang ada. Pakai kombinasi: $C(10, 3) = 120$ cara.
Dunia Target ($n(A)$): Sesuai terjemahan kita di awal, kita mau mendapatkan 2 Pop DAN 1 Rock.
Jadi kita hitung per bagian:
Banyak cara milih 2 Pop dari 6 Pop yang tersedia: $C(6, 2) = 15$ cara.
Banyak cara milih 1 Rock dari 4 Rock yang tersedia: $C(4, 1) = 4$ cara.
Total kemungkinan untuk Dunia Target = $15 \times 4 = 60$ cara yang isinya pas 2 Pop dan 1 Rock.
Jika kita ingin memilih 1 baju dari 3 baju DAN 1 celana dari 4 celana, ada berapa kombinasi gaya pakaian yang terbentuk?
- A. 7
- B. 12
- C. 3
- D. 4
Jawaban: B. 12
Sesuai aturan perkalian, memilih kejadian A DAN B yang terjadi bersamaan adalah mengalikan jumlah caranya: 3 x 4 = 12 kombinasi.
Kata kunci 'DAN' dalam penyusunan kombinasi berarti jumlah cara dari masing-masing kejadian dikalikan.