Akar Rumus Deret Aritmetika

Membongkar Rumus Suku ke-n

Nilai suku ke-n diperoleh dari suku pertama ditambah dengan beda yang dikalikan dengan banyak langkah dari suku pertama. Bayangkan kita sedang menyusun anak tangga: tinggi anak tangga pertama mewakili nilai awal suku pertama ($a$), setiap langkah naik mewakili nilai Beda ($b$), dan tinggi pijakan anak tangga ke-$n$ menggambarkan nilai Suku ($U_n$).

Diagram anak tangga barisan aritmetika dengan lonjakan konstan beda dua

Pada barisan bilangan ganjil $1, 3, 5, 7, ...$, suku pertamanya adalah $a = 1$. Selisih antara dua bilangan berurutan selalu tetap, yaitu $3 - 1 = 2$, sehingga Beda ($b$) barisan ini bernilai $2$. Perhatikan bagaimana nilai tiap suku tersusun secara aljabar:

Pengali untuk beda $b$ selalu $(n - 1)$, bukan $n$. Mengapa demikian? Karena anak tangga pertama adalah titik awal keberangkatan kita, sehingga untuk mencapai anak tangga ke-$n$, kita hanya melangkah naik sebanyak $(n - 1)$ kali. Dari pola teratur ini, kita peroleh rumus umum suku ke-$n$:

$$U_n = a + (n - 1)b$$

Pola penentuan suku beraturan seperti ini merupakan konsep dasar Deret Aritmetika yang berlaku luas, misalnya saat menghitung akumulasi tabungan yang bertambah dengan besaran tetap setiap periode.

Diberikan barisan aritmetika 2, 5, 8, ... dengan suku pertama $a=2$ dan beda $b=3$. Berapakah nilai suku ke-5 ($U_5$)?

  • 12
  • 15
  • 14
  • 17

Jawaban: 14

Dengan suku pertama $a = 2$ dan beda $b = 3$, suku ke-5 dihitung menggunakan $U_5 = a + (5-1)b = 2 + 4(3) = 14$. Opsi D (17) salah karena mengalikan dengan urutan langsung tanpa dikurangi satu ($2 + 5 \times 3$). Opsi B (15) salah karena tidak menambahkan suku pertama ($5 \times 3$). Opsi A (12) salah perhitungan aljabar.

Rumus Un untuk menentukan nilai suku tertentu berdasarkan urutannya.

Mencari Banyaknya Suku (n)

Banyaknya suku (n) dapat ditemukan secara pasti dengan melakukan substitusi dan manipulasi aljabar pada rumus Un. Ketika berhadapan dengan barisan bilangan ganjil hingga batas tertentu, menebak jumlah bilangan hanya dengan intuisi sering kali menjebak. Kita perlu membedakan secara tegas antara nilai suku terakhir ($U_n$) dan urutan atau Banyaknya Suku ($n$).

Pada deret $1 + 3 + 5 + ... + 19$, suku terakhir yang tertera adalah $19$. Kita dapat menerapkan nilai yang diketahui ke dalam persamaan aljabar suku ke-$n$:

Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:

$$19 = 1 + (n - 1) \cdot 2$$

Selesaikan persamaan dengan memindahkan konstanta suku pertama ke ruas kiri:

$$19 - 1 = 2(n - 1)$$

$$18 = 2(n - 1)$$

Bagi kedua ruas dengan beda ($2$):

$$n - 1 = \frac{18}{2}$$

$$n - 1 = 9$$

$$n = 9 + 1 = 10$$

Pada suatu barisan aritmetika 4, 7, 10, ... dengan suku pertama $a=4$ dan beda $b=3$, suku terakhirnya bernilai 25. Berapakah banyaknya suku ($n$) pada barisan tersebut?

  • 7
  • 8
  • 9
  • 10

Jawaban: 8

Substitusikan nilai ke rumus suku: $25 = 4 + (n-1)3$. Kurangkan kedua ruas dengan 4 menghasilkan $21 = 3(n-1)$, sehingga $n-1 = 7$ dan $n = 8$. Opsi A (7) salah karena berhenti di $n-1 = 7$ tanpa menambahkan 1. Opsi C (9) dan D (10) timbul akibat keliru manipulasi aljabar saat membagi atau memindahkan konstanta.

Menentukan n dengan memanipulasi rumus Un.

Pembuktian Aljabar Rumus Deret

Rumus jumlah deret aritmetika (Sn) berasal dari teknik menjumlahkan deret itu sendiri secara maju dan mundur (berbalik). Jika dianalogikan dengan menyusun anak tangga, total seluruh balok penyusun deret ($S_n$) dapat dihitung dengan memasangkan tangga tegak lurus bersama tangga identik yang posisinya dibalik terbalik.

Misalkan jumlah deret dituliskan sebagai $S$. Kita tuliskan deret tersebut dalam urutan maju dan urutan mundur:

$$S = 1 + 3 + 5 + ... + 17 + 19$$

$$S = 19 + 17 + 15 + ... + 3 + 1$$

Jika kedua baris persamaan tersebut kita jumlahkan secara vertikal kolom demi kolom:

Hasil penjumlahan kedua baris menghasilkan:

$$2S = 20 + 20 + 20 + ... + 20$$

Setiap pasangan kolom selalu bernilai konstan, yaitu sebesar suku pertama ditambah suku terakhir ($a + U_n$). Berdasarkan penelusuran kita sebelumnya, terdapat tepat $n = 10$ suku, yang berarti ada $10$ pasang penjumlahan bernilai $20$:

$$2S = n \cdot (a + U_n)$$

$$S = \frac{n}{2} (a + U_n)$$

Diketahui suatu deret aritmetika memiliki suku pertama $a = 2$ dan suku terakhir $U_n = 20$. Jika banyaknya suku adalah $n = 10$, berapakah jumlah seluruh suku deret tersebut?

  • 100
  • 120
  • 110
  • 220

Jawaban: 110

Gunakan rumus deret aritmetika $S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)$. Substitusi nilai: $S_{10} = \frac{10}{2}(2 + 20) = 5 \times 22 = 110$. Opsi D (220) salah karena lupa membagi 2 (masih berupa nilai $2S$). Opsi A (100) salah karena hanya mengalikan $\frac{n}{2}$ dengan suku terakhir ($5 \times 20$). Opsi B (120) merupakan kesalahan aritmetika saat mengalikan $5 \times 22$.

Menghitung jumlah deret aritmetika berdasarkan n, suku awal, dan suku akhir.